Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 3 \\\\ 4 & 1 & 0 & 5 \\\\ 6 & 7 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\\\ 4 & 1 & 0 & 5 \\\\ 6 & 7 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
usando a Expansão de Laplace, que consiste em escolher uma linha ou coluna, escrever
\det(A) = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{i j} \det(M_{i j})
para uma coluna fixa j, sendo M_{i j} o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna j.

Passo 2

Vamos expandir ao longo da coluna 4, pois em A o elemento a_{3,4} é zero. Assim
\det(A) = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+4}\,a_{i4}\,\det(M_{i4}) = -\,a_{1,4}\det(M_{1,4}) + a_{2,4}\det(M_{2,4}) + 0 + a_{4,4}\det(M_{4,4}).
Aqui a_{1,4}=3, a_{2,4}=5, a_{4,4}=1.

Passo 3

Calcular \det(M_{1,4}), que é o determinante de
M_{1,4} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\\\ 6 & 7 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha:
\det(M_{1,4}) = 4\det\!\begin{pmatrix}7 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}6 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} +0 =4(7\cdot3-1\cdot2)-\bigl(6\cdot3-1\cdot0\bigr) =4\cdot19-18 =76-18 =58.

Passo 4

Calcular \det(M_{2,4}), que é o determinante de
M_{2,4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 6 & 7 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha:
\det(M_{2,4}) =1\det\!\begin{pmatrix}7 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} -0 +2\det\!\begin{pmatrix}6 & 7\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =1\cdot19 +2(6\cdot2-7\cdot0) =19+2\cdot12 =19+24 =43.

Passo 5

Calcular \det(M_{4,4}), que é o determinante de
M_{4,4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 4 & 1 & 0 \\\\ 6 & 7 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha:
\det(M_{4,4}) =1\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 7 & 1\end{pmatrix} -0 +2\det\!\begin{pmatrix}4 & 1\\\ 6 & 7\end{pmatrix} =1\cdot1 +2(4\cdot7-1\cdot6) =1+2(28-6) =1+2\cdot22 =1+44 =45.

Passo 6

Agora montamos \det(A) com os cofatores:
\det(A) = -\,3\cdot58 \;+\;5\cdot43 \;+\;1\cdot45 = -174 +215 +45 = 86.

Resposta

\displaystyle 86

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