Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{llll}2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 4 & 5 & 2 & 1 \\\\ 0 & 6 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 4 & 5 & 2 & 1 \\\\ 0 & 6 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}
usando a Expansão de Laplace. A ideia é escolher uma linha ou coluna com zeros para simplificar o cálculo dos cofatores. Aqui vamos expandir ao longo da primeira coluna, que contém um zero em a_{31}.

Passo 2

Pela fórmula da Expansão de Laplace ao longo da coluna 1, temos
\det(A) =\sum_{i=1}^{4} a_{i1}\,(-1)^{i+1}\det\big(M_{i1}\big),
onde M_{i1} é o menor que resulta de eliminar a i-ésima linha e a primeira coluna. Como a_{31}=0, só precisamos dos termos i=1,2,4:
\det(A) = a_{11}\,C_{11} \;+\; a_{21}\,C_{21} \;+\; a_{41}\,C_{41},
sendo C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}).

Passo 3

Calcular o cofatôr C_{11}:
a_{11} =2 e
M_{11} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 6 & 3 & 2\\\\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}.
O determinante de M_{11} pela regra de Sarrus ou Laplace é
\det(M_{11}) =5\,(3\cdot3-2\cdot4)\;-\;2\,(6\cdot3-2\cdot0)\;+\;1\,(6\cdot4-3\cdot0) =5\cdot1-2\cdot18+1\cdot24 =-7.
Como (-1)^{1+1}=+1, temos
C_{11}=+1\cdot(-7)=-7 \quad\Longrightarrow\quad a_{11}C_{11}=2\cdot(-7)=-14.

Passo 4

Calcular C_{21}:
a_{21} =4 e
M_{21} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 6 & 3 & 2\\\\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}.
\det(M_{21}) =3\,(3\cdot3-2\cdot4)\;-\;1\,(6\cdot3-2\cdot0)\;+\;0\cdot\bigl(\dots\bigr) =3\cdot1-1\cdot18 =-15.
Aqui (-1)^{2+1}=-1, logo
C_{21}=-1\cdot(-15)=+15 \quad\Longrightarrow\quad a_{21}C_{21}=4\cdot15=60.

Passo 5

Calcular C_{41}:
a_{41} =1 e
M_{41} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 5 & 2 & 1\\\\ 6 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
\det(M_{41}) =3\,(2\cdot2-1\cdot3)\;-\;1\,(5\cdot2-1\cdot6)\;+\;0\cdot\bigl(\dots\bigr) =3\cdot1-1\cdot4 =-1.
Como (-1)^{4+1}=-1, temos
C_{41}=-1\cdot(-1)=+1 \quad\Longrightarrow\quad a_{41}C_{41}=1\cdot1=1.

Passo 6

Somando as contribuições:
\det(A) = (-14) \;+\; 60 \;+\; 1 =47.

Resposta

O determinante da matriz é 47.

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