Calcule os determinantes seguintes, aplicando a regra de Laplace:
(b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\\\\ 3 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
usando a regra de Laplace, ou seja, expandindo o determinante em cofatores, calculando menores e sinais de (-1)^{i+j}.

Passo 2

Escolhemos expandir pela terceira linha, pois nela só o elemento a_{32}=1 é não nulo. A fórmula de Laplace para a linha 3 é
\det(A) =\sum_{j=1}^{3}(-1)^{3+j}\,a_{3j}\,\det(M_{3j}) =(-1)^{3+2}\cdot a_{32}\cdot \det(M_{32}),
onde M_{32} é o menor que fica ao riscar linha 3 e coluna 2.

Passo 3

O menor M_{32} é a submatriz
M_{32} = \begin{pmatrix} 0 & -2\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(M_{32}) =0\cdot 1 - (-2)\cdot 3 =0 + 6 =6.
Então, usando o fator de sinal (-1)^{3+2}=(-1)^5=-1 e a_{32}=1, temos
\det(A) =-1 \cdot 1 \cdot 6 =-6.

Resposta

-6

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