Calcule a matriz adjunta das matrizes
(b) B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 3 \\\\ -1 & -2 & 5 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos pede a matriz adjunta (ou adjugata) de
B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3\\\\ -1 & -2 & 5\\\\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Lembrando que a matriz adjunta de B, denotada \operatorname{adj}(B), é a transposta da matriz de cofatores de B. Para isso, precisamos calcular os menores M_{ij} e os cofatores
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
para i,j=1,2,3.

Passo 2

Calculemos os menores e cofatores da primeira linha i=1:
  • M_{11} é o determinante da submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1, ou seja
M_{11} = \det\begin{pmatrix}-2 & 5\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = (-2)\cdot3 - 5\cdot1 = -6 - 5 = -11.
Logo
C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = (-1)^2\cdot(-11) = -11.
  • M_{12} vem de remover linha 1 e coluna 2:
M_{12} = \det\begin{pmatrix}-1 & 5\\\ 4 & 3\end{pmatrix} = (-1)\cdot3 - 5\cdot4 = -3 - 20 = -23,
e
C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)^3\cdot(-23) = 23.
  • M_{13} vem de remover linha 1 e coluna 3:
M_{13} = \det\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ 4 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - (-2)\cdot4 = -1 + 8 = 7,
e
C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = (-1)^4\cdot7 = 7.

Passo 3

Agora os cofatores da segunda linha i=2:
  • M_{21} = \det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 0\cdot3 - 3\cdot1 = -3, \;C_{21}=(-1)^{2+1}(-3)=3. - M_{22} = \det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 4 & 3\end{pmatrix} = (-2)\cdot3 - 3\cdot4 = -6 - 12 = -18, \;C_{22}=(-1)^{2+2}(-18)=-18. - M_{23} = \det\begin{pmatrix}-2 & 0\\\ 4 & 1\end{pmatrix} = (-2)\cdot1 - 0\cdot4 = -2, \;C_{23}=(-1)^{2+3}(-2)=2.

Passo 4

Por fim, os cofatores da terceira linha i=3:
  • M_{31} = \det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ -2 & 5\end{pmatrix} = 0\cdot5 - 3\cdot(-2) = 6, \;C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot6 = 6. - M_{32} = \det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ -1 & 5\end{pmatrix} = (-2)\cdot5 - 3\cdot(-1) = -10 + 3 = -7, \;C_{32}=(-1)^{3+2}(-7)=7. - M_{33} = \det\begin{pmatrix}-2 & 0\\\ -1 & -2\end{pmatrix} = (-2)\cdot(-2) - 0\cdot(-1) = 4, \;C_{33}=(-1)^{3+3}\cdot4=4.

Passo 5

A matriz de cofatores C fica
C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\\ C_{21} & C_{22} & C_{23}\\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 23 & 7\\\\ 3 & -18 & 2\\\\ 6 & 7 & 4 \end{pmatrix}.
Tomando a transposta, obtemos a adjunta:
\operatorname{adj}(B) = C^{T} = \begin{pmatrix} -11 & 3 & 6\\\\ 23 & -18 & 7\\\\ 7 & 2 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}(B) = \begin{pmatrix} -11 & 3 & 6\\\\ 23 & -18 & 7\\\\ 7 & 2 & 4 \end{pmatrix}.

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