Calcule os determinantes seguintes, aplicando a regra de Laplace:
(c) \left|\begin{array}{cccc}0 & 2 & 0 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & -3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right|;

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 4 \\[6pt] 2 & 1 & 0 & 2 \\[6pt] 0 & 0 & -3 & 1 \\[6pt] 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
para isso vamos usar a regra de Laplace. Como a terceira coluna de A tem apenas um elemento não nulo, expadimos ao longo dessa coluna para simplificar.]

Passo 2

Ao expandir pelo elemento de posição (3,3), cuja entrada é a_{33}=-3, o sinal do cofator é (-1)^{3+3}=+1. Logo
\det(A) = a_{33}\,C_{33} = (-3)\,\det(M),
onde M é o menor obtido eliminando-se a linha 3 e a coluna 3 de A.

Passo 3

O menor M é a matriz 3\times3 formada pelas linhas 1, 2, 4 e colunas 1, 2, 4 de A:
M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[4pt] 2 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos \det(M) por desenvolvimento em qualquer linha ou usando a regra de Sarrus. Por exemplo, pela primeira linha:
\det(M) = 0\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&1\end{pmatrix} +4\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Isso dá
0 -2\,(2\cdot1-2\cdot1) +4\,(2\cdot1-1\cdot1) = 0 -2\cdot0 +4\cdot1 = 4.
Portanto,
\det(A) = (-3)\times 4 = -12.

Resposta

-12

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