Calcule os determinantes seguintes, aplicando a regra de Laplace:
(d) \left|\begin{array}{cccc}0 & x & 0 & -1 \\\\ -1 & 2 & x & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & x \\\\ 0 & 0 & -3 & 0\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante abaixo, aplicando a regra de Laplace.
D = \begin{vmatrix} 0 & x & 0 & -1 \\\\ -1 & 2 & x & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & x \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{vmatrix}

Passo 2

Observamos que a quarta linha tem três zeros, então expandimos pelo quarto linha. Só o elemento na coluna 3 é não nulo, com a_{4,3}=-3. Assim
D = \sum_{j=1}^4 (-1)^{4+j}a_{4,j}\det(M_{4,j}) = (-1)^{4+3}\cdot(-3)\cdot\det(M_{4,3}) =3\,\det(M_{4,3}),
onde
M_{4,3} = \begin{pmatrix} 0 & x & -1 \\\\ -1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det(M_{4,3}), expandimos pela primeira linha, que tem um zero:
\det(M_{4,3}) =0 \cdot C_{11} - x \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\[6pt] 0 & x \end{vmatrix} +(-1)\cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\[6pt] 0 & 1 \end{vmatrix}.
Agora calculamos os dois menores:
\begin{vmatrix} -1 & 0 \\[3pt] 0 & x \end{vmatrix} =(-1)\cdot x - 0\cdot0 = -x, \qquad \begin{vmatrix} -1 & 2 \\[3pt] 0 & 1 \end{vmatrix} =(-1)\cdot1 - 2\cdot0 = -1.
Substituindo,
\det(M_{4,3}) = -x\cdot(-x) +(-1)\cdot(-1) = x^2 + 1.]

Passo 4

Voltando ao determinante original:
D = 3\,\det(M_{4,3}) = 3\,(x^2 + 1).

Resposta

3(x^2 + 1)

Exercícios relacionados