Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para 0< \mathrm{n}< N-1
x(n)=n (\mathrm{~N}=5)

Passo 1

O enunciado pede a DFT de N pontos do sinal dado por x(n)=n com N=5.
Informações relevantes fornecidas:
N=5
x(n)=n,\qquad n=0,1,2,3,4
A tarefa é calcular
X(k)=\sum_{n=0}^{4} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{5}kn},
para k=0,1,2,3,4.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da DFT de N pontos e explicar cada termo (rapidinho e com carinho). A DFT é
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},
onde:
  • X(k) é o valor da DFT na frequência discreta k;
  • x(n) é o sinal no tempo discreto (aqui x(n)=n);
  • N é o número de pontos (aqui N=5);
  • e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} é o núcleo complexo que “projeta” x(n) nas diferentes frequências k.
    Para abreviar, definimos
r \equiv e^{-j\frac{2\pi}{N}k},
então e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=r^{\,n}.

Passo 3

Calculemos primeiro X(0) (é o caso mais simples e muito comum fazer primeiro).
X(0)=\sum_{n=0}^{4} n = 0+1+2+3+4.
A soma dos inteiros de 0 a 4 é \frac{N(N-1)}{2} com N=5, logo
X(0)=\frac{5\cdot4}{2}=10.

Passo 4

Agora os casos k\neq0. Escrevemos
X(k)=\sum_{n=0}^{4} n\,r^{n},\qquad r=e^{-j\frac{2\pi}{5}k},\quad k=1,2,3,4.
Para somas do tipo \sum n r^{n} (com r\neq1) usamos um truque útil: escrever a soma geométrica e derivá‑la. Defina
A(r)=\sum_{n=0}^{4} r^{n}=\frac{1-r^{5}}{1-r}.
Derivando A(r) em relação a r e multiplicando por r obtemos a soma desejada:
\sum_{n=0}^{4} n r^{n}=r\frac{d}{dr}A(r).

Passo 5

Façamos a derivada explicitamente (vou mostrar cada passo):
A(r)=\frac{1-r^{5}}{1-r}.
Usando a regra do quociente,
\frac{dA}{dr}=\frac{-5r^{4}(1-r)-(1-r^{5})(-1)}{(1-r)^{2}} =\frac{1-5r^{4}+4r^{5}}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando por r,
\sum_{n=0}^{4} n r^{n}=r\frac{dA}{dr} =\frac{r\bigl(1-5r^{4}+4r^{5}\bigr)}{(1-r)^{2}}.
Mas para r=e^{-j\frac{2\pi}{5}k} com k inteiro não múltiplo de 5 temos r^{5}=1. Substituindo r^{5}=1 e r^{4}=r^{-1} obtemos
\sum_{n=0}^{4} n r^{n}=\frac{r\bigl(1-5r^{-1}+4\cdot1\bigr)}{(1-r)^{2}} =\frac{r\bigl(5-5r^{-1}\bigr)}{(1-r)^{2}} =\frac{5(r-1)}{(1-r)^{2}}.
Como (1-r)^{2}=(r-1)^{2}, isso simplifica para
\sum_{n=0}^{4} n r^{n}=\frac{5}{r-1}.
Portanto, para k=1,2,3,4,
X(k)=\frac{5}{e^{-j\frac{2\pi}{5}k}-1}.

Passo 6

Vamos deixar essa expressão mais interpretável (e que dá fórmulas limpas): escrevemos \theta=\frac{2\pi}{5}k. Note que
e^{-j\theta}-1=e^{-j\theta/2}\bigl(e^{-j\theta/2}-e^{j\theta/2}\bigr) =e^{-j\theta/2}(-2j\sin(\theta/2)).
Logo
\frac{1}{e^{-j\theta}-1}=\frac{1}{-2j\,e^{-j\theta/2}\sin(\theta/2)} =\frac{j\,e^{j\theta/2}}{2\sin(\theta/2)}.
Multiplicando por 5,
X(k)=\frac{5}{e^{-j\frac{2\pi}{5}k}-1} =\frac{5j\,e^{j\pi k/5}}{2\sin(\pi k/5)}.
Podemos ainda reescrever isolando parte real e imaginária usando j e^{j\alpha}=-\sin\alpha + j\cos\alpha. Dividindo por \sin(\alpha) com \alpha=\pi k/5,
X(k)=\frac{5}{2}\Bigl(-1 + j\cot\!\bigl(\tfrac{\pi k}{5}\bigr)\Bigr),\qquad k=1,2,3,4.

Passo 7

Observações finais e simetrias (úteis na prova):
  • X(0)=10.
  • Para k=1,2,3,4 as fórmulas acima valem e notamos que X(5-k)=\overline{X(k)} (conjugado complexo), porque x(n) é real. Isso aparece via \cot(\pi(5-k)/5)=-\cot(\pi k/5), que faz as partes imaginárias trocarem de sinal mantendo a real igual.

Resposta

X(0)=10
X(k)=\dfrac{5}{e^{-j\frac{2\pi}{5}k}-1}=\dfrac{5j\,e^{j\pi k/5}}{2\sin(\pi k/5)}=\dfrac{5}{2}\Bigl(-1 + j\cot\!\bigl(\tfrac{\pi k}{5}\bigr)\Bigr),\quad k=1,2,3,4

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