Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para
Passo 1
O enunciado pede a DFT de
pontos do sinal dado por
com
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é calcular
para
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da DFT de
pontos e explicar cada termo (rapidinho e com carinho). A DFT é
onde:
-
é o valor da DFT na frequência discreta ; -
é o sinal no tempo discreto (aqui ); -
é o número de pontos (aqui ); -
é o núcleo complexo que “projeta” nas diferentes frequências .
Para abreviar, definimos
então
.
Passo 3
Calculemos primeiro
(é o caso mais simples e muito comum fazer primeiro).
A soma dos inteiros de
a
é
com
, logo
Passo 4
Agora os casos
. Escrevemos
Para somas do tipo
(com
) usamos um truque útil: escrever a soma geométrica e derivá‑la. Defina
Derivando
em relação a
e multiplicando por
obtemos a soma desejada:
Passo 5
Façamos a derivada explicitamente (vou mostrar cada passo):
Usando a regra do quociente,
Multiplicando por
,
Mas para
com
inteiro não múltiplo de
temos
. Substituindo
e
obtemos
Como
, isso simplifica para
Portanto, para
,
Passo 6
Vamos deixar essa expressão mais interpretável (e que dá fórmulas limpas): escrevemos
. Note que
Logo
Multiplicando por
,
Podemos ainda reescrever isolando parte real e imaginária usando
. Dividindo por
com
,
Passo 7
Observações finais e simetrias (úteis na prova):
-
. - Para
as fórmulas acima valem e notamos que (conjugado complexo), porque é real. Isso aparece via , que faz as partes imaginárias trocarem de sinal mantendo a real igual.