Calcule a diferença entre as leituras:
W_{2}-W_{1}=\operatorname{Re}\left\{V_{c b} I_{c}^{*}-V_{a b} I_{a}^{*}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferença entre duas leituras de wattímetro dada pela expressão
W_{2}-W_{1}=\operatorname{Re}\left\{V_{c b} I_{c}^{*}-V_{a b} I_{a}^{*}\right\}.
Informações implícitas que vou usar (não foi fornecido mais nada, então assumo o caso padrão aplicado a essa fórmula): sistema trifásico balanceado, sequência direta (positivo), cargas em estrela balanceadas, todas as magnitudes de tensões de linha iguais e as correntes de linha iguais em módulo. Vou usar as seguintes notações e dados:
  • V_{L} = magnitude da tensão de linha (tensão entre fases, ou seja, magnitude de V_{ab},V_{bc},V_{ca}),
  • I = magnitude da corrente de linha (igual à corrente de fase em ligação estrela),
  • \varphi = defasagem entre a tensão de fase e a corrente de fase (ângulo de potência, corrente atrasa a tensão por \varphi se indutivo),
  • as tensões de linha têm defasagens de +30^\circ,-90^\circ,+150^\circ quando a referência é escolhida de forma padrão (explico isso nos passos seguintes).
    A resolução começa a partir dessas hipóteses.

Passo 2

Vou escrever os fasores das tensões de linha e das correntes de fase para um sistema trifásico balanceado (explicação didática):
  • Em um sistema trifásico balanceado de sequência direta, as tensões de fase (entre fase e neutro) podem ser tomadas como
V_a = V_p\angle 0^\circ,\qquad V_b = V_p\angle -120^\circ,\qquad V_c = V_p\angle 120^\circ,
onde V_p é a magnitude da tensão de fase. A tensão de linha (entre duas fases) tem magnitude \sqrt{3}V_p e é defasada 30^\circ em relação à tensão de fase correspondente. Defino V_{L}=\sqrt{3}V_p.
  • Portanto, os fasores linha a linha (ângulos obtidos a partir da subtração V_{xy}=V_x-V_y) ficam comumente exprimidos como
V_{ab}=V_{L}\angle 30^\circ,\qquad V_{bc}=V_{L}\angle -90^\circ,\qquad V_{ca}=V_{L}\angle 150^\circ.
Obs.: se preferir, pense assim: a tensão de linha “lead” (antecipa) a tensão de fase por 30^\circ; isso é padrão em análise trifásica.

Passo 3

Agora escrevo os fasores das correntes de fase em um carregamento balanceado com ângulo de carga \varphi. A corrente de fase a tem o mesmo ângulo que a tensão de fase menos \varphi, então:
I_a = I\angle -\varphi,\qquad I_b = I\angle -120^\circ -\varphi,\qquad I_c = I\angle +120^\circ -\varphi.
Explicação do conjugado: ao calcular V I^* usamos I^* que troca o sinal do ângulo do corrente (conjugado complexo). Assim, por exemplo, se I_a = I\angle -\varphi então
I_a^{*}=I\angle +\varphi.

Passo 4

Agora avalio os dois termos dentro da parte real separadamente, começando por V_{ab}I_a^{*}.
Usando V_{ab}=V_{L}\angle 30^\circ e I_a^{*}=I\angle +\varphi, temos
V_{ab}I_a^{*}=V_{L}I\angle(30^\circ+\varphi).
A parte real de um fasor A\angle\theta é A\cos\theta. Portanto
\operatorname{Re}\{V_{ab}I_a^{*}\}=V_{L}I\cos(30^\circ+\varphi).

Passo 5

Agora para V_{cb}I_c^{*}. Primeiro expresso V_{cb}. Note que V_{cb}=V_c-V_b=-(V_b-V_c)=-V_{bc}. Como V_{bc}=V_{L}\angle -90^\circ (do passo 2), então
V_{cb}=-V_{bc}=V_{L}\angle 90^\circ.
Para a corrente c temos I_c=I\angle 120^\circ-\varphi, portanto
I_c^{*}=I\angle -120^\circ+\varphi.
Multiplicando:
V_{cb}I_c^{*}=V_{L}I\angle(90^\circ-120^\circ+\varphi)=V_{L}I\angle(-30^\circ+\varphi).
A parte real é
\operatorname{Re}\{V_{cb}I_c^{*}\}=V_{L}I\cos(-30^\circ+\varphi)=V_{L}I\cos(\varphi-30^\circ).
(Usei \cos(-\alpha)=\cos\alpha.)

Passo 6

Agora monto a diferença pedida usando os resultados dos passos anteriores:
W_{2}-W_{1}=\operatorname{Re}\{V_{cb}I_c^{*}\}-\operatorname{Re}\{V_{ab}I_a^{*}\} =V_{L}I\cos(\varphi-30^\circ)-V_{L}I\cos(\varphi+30^\circ).
Coloco em evidência V_{L}I:
W_{2}-W_{1}=V_{L}I\big[\cos(\varphi-30^\circ)-\cos(\varphi+30^\circ)\big].

Passo 7

Vou simplificar a expressão trigonométrica usando a identidade
\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta.
Aplicando com \alpha=\varphi e \beta=30^\circ obtemos
\cos(\varphi-30^\circ)-\cos(\varphi+30^\circ)=2\sin\varphi\sin 30^\circ.
Como \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}, isso dá
\cos(\varphi-30^\circ)-\cos(\varphi+30^\circ)=2\sin\varphi\cdot \tfrac{1}{2}=\sin\varphi.

Passo 8

Substituindo no resultado do passo 6:
W_{2}-W_{1}=V_{L}I\sin\varphi.
Comentário físico (rápido e útil para prova): a diferença entre as leituras está relacionada ao componente reativo. De fato, a potência reativa total do sistema balanceado é
Q_{\text{total}}=\sqrt{3}\,V_{L}I\sin\varphi,
portanto se quiser relacionar com Q tem
Q_{\text{total}}=\sqrt{3}\,(W_{2}-W_{1}).

Resposta

W_{2}-W_{1}=V_{L}I\sin\varphi

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