Método dos dois wattímetros: por que não se obtém Q_{T} em carga desequilibrada?
Considere um sistema trifásico 3-fios (sem neutro), em regime senoidal, alimentando uma carga possivelmente desequilibrada. Denote por V_{a}, V_{b}, V_{c} as tensões de fase e por I_{a}, I_{b}, I_{c} as correntes de linha (fasores RMS). As tensões de linha são V_{a b}=V_{a}-V_{b}, V_{b c}=V_{b}-V_{c} e V_{c b}=V_{c}-V_{b}. Na ligação de Aron, os dois wattímetros medem
W_{1}=\operatorname{Re}\left\{V_{a b} I_{a}^{*}\right\}, \quad W_{2}=\operatorname{Re}\left\{V_{c b} I_{c}^{*}\right\}

Passo 1

O enunciado dá um sistema trifásico 3-fios (sem neutro), regime senoidal, com tensões de fase V_{a},V_{b},V_{c} e correntes de linha I_{a},I_{b},I_{c} (como fasores RMS). As tensões de linha são dadas por \,V_{ab}=V_a-V_b\,,\;V_{cb}=V_c-V_b\,. Na ligação de Aron os dois wattímetros medem
W_{1}=\operatorname{Re}\{V_{ab}I_a^{*}\},\qquad W_{2}=\operatorname{Re}\{V_{cb}I_c^{*}\}.
A pergunta é: por que não se obtém o valor do \emph{potência reativa total} Q_T (ou seja, a soma das reatividades das três fases) a partir de W_1 e W_2 quando a carga está desequilibrada?
Lista de informações relevantes fornecidas:
  • Fórmulas de leitura dos wattímetros: W_1 e W_2 acima.
  • Sistema 3-fios sem neutro implica a condição de corrente de linha: \;I_a+I_b+I_c=0.
  • Definição de potência complexa por fase: S_k=V_k I_k^{*}=P_k+jQ_k. Assim a potência ativa total é P_T=\sum P_k=\operatorname{Re}\{\sum V_k I_k^{*}\} e a reativa total é Q_T=\sum Q_k=\operatorname{Im}\{\sum V_k I_k^{*}\}.

Passo 2

Mostramos primeiro um fato útil e didático: a soma W_1+W_2 dá sempre a potência ativa total P_T (mesmo em carga desequilibrada). Isso nos ajuda a entender por que o mesmo não vale para Q_T.
Começamos a partir de W_1+W_2:
W_1+W_2=\operatorname{Re}\{V_{ab}I_a^{*}+V_{cb}I_c^{*}\}.
Substituímos V_{ab}=V_a-V_b e V_{cb}=V_c-V_b:
W_1+W_2=\operatorname{Re}\{(V_a-V_b)I_a^{*}+(V_c-V_b)I_c^{*}\}.
Expandindo:
W_1+W_2=\operatorname{Re}\{V_a I_a^{*}+V_c I_c^{*}-V_b(I_a^{*}+I_c^{*})\}.
Usando a condição de 3-fios sem neutro \;I_a+I_b+I_c=0, obtemos \;I_b=-(I_a+I_c), portanto
-(I_a^{*}+I_c^{*})=I_b^{*}.
Substituindo:
W_1+W_2=\operatorname{Re}\{V_a I_a^{*}+V_b I_b^{*}+V_c I_c^{*}\} = P_T.
Comentário didático: isto mostra por que a soma das leituras dá sempre a potência ativa total — cada wattímetro mede contribuições que, quando somadas, reconstituem exatamente \operatorname{Re}\{\sum V_k I_k^{*}\}. Essa propriedade não exige simetria das correntes.

Passo 3

Agora examinamos a diferença W_1-W_2 e a relação com Q_T. Começamos pela expressão:
W_1-W_2=\operatorname{Re}\{V_{ab}I_a^{*}-V_{cb}I_c^{*}\}.
Substituindo V_{ab} e V_{cb} e expandindo:
W_1-W_2=\operatorname{Re}\{V_a I_a^{*}-V_b I_a^{*}-V_c I_c^{*}+V_b I_c^{*}\}.
Agrupando termos com V_b:
W_1-W_2=\operatorname{Re}\{V_a I_a^{*}-V_c I_c^{*}+V_b(I_c^{*}-I_a^{*})\}.
Enquanto isso, a potência reativa total é
Q_T=\operatorname{Im}\{V_a I_a^{*}+V_b I_b^{*}+V_c I_c^{*}\}.
Usando I_b^{*}=-(I_a^{*}+I_c^{*}) obtemos uma forma explícita:
Q_T=\operatorname{Im}\{V_a I_a^{*}+V_c I_c^{*}-V_b(I_a^{*}+I_c^{*})\}.
Comparando as duas expressões vemos dois pontos cruciais:
  1. W_1-W_2 é a parte real de uma combinação linear de produtos V_k I_\ell^{*} com sinais específicos, enquanto Q_T é a parte imaginária de outra combinação (a soma natural por fase) — ou seja, uma envolve \operatorname{Re}\{\cdot\} e a outra \operatorname{Im}\{\cdot\}.
  2. Os coeficientes das combinações são diferentes: em W_1-W_2 aparecem os termos V_a I_a^{*} e -V_c I_c^{*} com sinal oposto entre eles e aparece o termo cruzado V_b(I_c^{*}-I_a^{*}). Em Q_T aparecem V_a I_a^{*} e +V_c I_c^{*} (mesmo sinal) e o termo com V_b é -V_b(I_a^{*}+I_c^{*}). Não há igualdade geral entre essas expressões: os sinais e a aplicação de \operatorname{Re} versus \operatorname{Im} impedem equivalência em situação geral.
Conclusão técnica: algebraicamente não existe, em geral, uma identidade que ligue W_1-W_2 a Q_T sem impor condições especiais (simetria) sobre as correntes e ângulos. Portanto, em carga desequilibrada W_1-W_2 não reproduz Q_T.

Passo 4

Mostramos por que a igualdade ocorre no caso simétrico (caso em que o método funciona): quando a carga é trifásica equilibrada — isto significa que as três correntes têm a mesma magnitude I e estão defasadas entre si por 120^\circ e têm o mesmo ângulo de potência \varphi relativo às respectivas tensões de fase.
No caso equilibrado, existem fórmulas clássicas (que vale a pena saber para a prova):
W_1=V_L I_L \cos(\varphi-30^\circ),\qquad W_2=V_L I_L \cos(\varphi+30^\circ),
onde V_L é a tensão de linha e I_L a corrente de linha (aqui I_L=I). Subtraindo:
W_1-W_2=V_L I_L\big[\cos(\varphi-30^\circ)-\cos(\varphi+30^\circ)\big].
Usando a identidade trigonométrica \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta com \alpha=\varphi e \beta=30^\circ, obtemos
W_1-W_2=2V_L I_L\sin\varphi\sin 30^\circ=V_L I_L\sin\varphi.
Recordando que Q_T para carga equilibrada vale Q_T= \sqrt{3}V_{ph}I\sin\varphi e que V_L=\sqrt{3}V_{ph}, obtemos
W_1-W_2=\sqrt{3}V_{ph}I\sin\varphi=Q_T.
Portanto, a igualdade ocorre por cancelamento e simetria: os termos cruzados que em geral aparecem em W_1-W_2 se combinam de modo a produzir exatamente a soma das reatividades das três fases quando as correntes (e ângulos) são simétricos.
Didática curta: a simetria faz com que as combinações com V_b no passo 3 se reduzem (cancelam) e as partes real/imaginária se alinhem na forma correta — por isso o método funciona para cargas equilibradas.

Passo 5

Intuição física e conclusão prática, de amigo que te anima: cada wattímetro mede potência associada à multiplicação entre uma tensão de linha e uma corrente de linha. Quando a carga é desequilibrada, as três fases contribuem com magnitudes e ângulos diferentes; as leituras W_1 e W_2 são combinações específicas desses produtos (alguns com sinais trocados e até termos “cruzados” envolvendo V_b e diferença de correntes). A soma W_1+W_2 reconstruirá sempre a potência ativa total porque os termos se somam corretamente para a parte real da soma por fase. Já para a reativa, a diferença W_1-W_2 não corresponde, em geral, à soma das reatividades de cada fase porque:
  • um lado envolve \operatorname{Re}\{\cdot\} e o outro \operatorname{Im}\{\cdot\};
  • os coeficientes dos termos por fase não coincidem (aparecem sinais e combinações diferentes);
  • apenas sob a condição particular de simetria (cargas iguais por fase e mesmos ângulos) essas diferenças desaparecem e surge a identidade W_1-W_2=Q_T.
Prática para prova: se a carga pode estar desequilibrada, não tente obter Q_T só com dois wattímetros — use três medidas de potência (três wattímetros) ou meça diretamente as três correntes e três tensões de fase para calcular Q_T=\operatorname{Im}\{\sum V_k I_k^{*}\}.

Resposta

Porque algebraicamente W_1-W_2 é a parte real de uma combinação de produtos V_k I_\ell^{*} com sinais diferentes enquanto Q_T é a parte imaginária da soma fase a fase \sum V_k I_k^{*}; em carga desequilibrada aparecem termos cruzados (por exemplo com V_b(I_c^{*}-I_a^{*})) que não se cancelam, logo não há identidade geral ligando W_1-W_2 a Q_T. Apenas no caso simétrico (carga equilibrada) esses termos se anulam e então W_1-W_2=Q_T.

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