Método dos dois wattímetros: por que não se obtém
em carga desequilibrada?
Considere um sistema trifásico 3-fios (sem neutro), em regime senoidal, alimentando uma carga possivelmente desequilibrada. Denote por
as tensões de fase e por
as correntes de linha (fasores RMS). As tensões de linha são
,
e
. Na ligação de Aron, os dois wattímetros medem
Passo 1
O enunciado dá um sistema trifásico 3-fios (sem neutro), regime senoidal, com tensões de fase
e correntes de linha
(como fasores RMS). As tensões de linha são dadas por
. Na ligação de Aron os dois wattímetros medem
A pergunta é: por que não se obtém o valor do \emph{potência reativa total}
(ou seja, a soma das reatividades das três fases) a partir de
e
quando a carga está desequilibrada?
Lista de informações relevantes fornecidas:
- Fórmulas de leitura dos wattímetros:
e acima. - Sistema 3-fios sem neutro implica a condição de corrente de linha:
. - Definição de potência complexa por fase:
. Assim a potência ativa total é e a reativa total é .
Passo 2
Mostramos primeiro um fato útil e didático: a soma
dá sempre a potência ativa total
(mesmo em carga desequilibrada). Isso nos ajuda a entender por que o mesmo não vale para
.
Começamos a partir de
:
Substituímos
e
:
Expandindo:
Usando a condição de 3-fios sem neutro
, obtemos
, portanto
Substituindo:
Comentário didático: isto mostra por que a soma das leituras dá sempre a potência ativa total — cada wattímetro mede contribuições que, quando somadas, reconstituem exatamente
. Essa propriedade não exige simetria das correntes.
Passo 3
Agora examinamos a diferença
e a relação com
. Começamos pela expressão:
Substituindo
e
e expandindo:
Agrupando termos com
:
Enquanto isso, a potência reativa total é
Usando
obtemos uma forma explícita:
Comparando as duas expressões vemos dois pontos cruciais:
-
é a parte real de uma combinação linear de produtos com sinais específicos, enquanto é a parte imaginária de outra combinação (a soma natural por fase) — ou seja, uma envolve e a outra . - Os coeficientes das combinações são diferentes: em
aparecem os termos e com sinal oposto entre eles e aparece o termo cruzado . Em aparecem e (mesmo sinal) e o termo com é . Não há igualdade geral entre essas expressões: os sinais e a aplicação de versus impedem equivalência em situação geral.
Conclusão técnica: algebraicamente não existe, em geral, uma identidade que ligue
a
sem impor condições especiais (simetria) sobre as correntes e ângulos. Portanto, em carga desequilibrada
não reproduz
.
Passo 4
Mostramos por que a igualdade ocorre no caso simétrico (caso em que o método funciona): quando a carga é trifásica equilibrada — isto significa que as três correntes têm a mesma magnitude
e estão defasadas entre si por
e têm o mesmo ângulo de potência
relativo às respectivas tensões de fase.
No caso equilibrado, existem fórmulas clássicas (que vale a pena saber para a prova):
onde
é a tensão de linha e
a corrente de linha (aqui
). Subtraindo:
Usando a identidade trigonométrica
com
e
, obtemos
Recordando que
para carga equilibrada vale
e que
, obtemos
Portanto, a igualdade ocorre por cancelamento e simetria: os termos cruzados que em geral aparecem em
se combinam de modo a produzir exatamente a soma das reatividades das três fases quando as correntes (e ângulos) são simétricos.
Didática curta: a simetria faz com que as combinações com
no passo 3 se reduzem (cancelam) e as partes real/imaginária se alinhem na forma correta — por isso o método funciona para cargas equilibradas.
Passo 5
Intuição física e conclusão prática, de amigo que te anima: cada wattímetro mede potência associada à multiplicação entre uma tensão de linha e uma corrente de linha. Quando a carga é desequilibrada, as três fases contribuem com magnitudes e ângulos diferentes; as leituras
e
são combinações específicas desses produtos (alguns com sinais trocados e até termos “cruzados” envolvendo
e diferença de correntes). A soma
reconstruirá sempre a potência ativa total porque os termos se somam corretamente para a parte real da soma por fase. Já para a reativa, a diferença
não corresponde, em geral, à soma das reatividades de cada fase porque:
- um lado envolve
e o outro ; - os coeficientes dos termos por fase não coincidem (aparecem sinais e combinações diferentes);
- apenas sob a condição particular de simetria (cargas iguais por fase e mesmos ângulos) essas diferenças desaparecem e surge a identidade
.
Prática para prova: se a carga pode estar desequilibrada, não tente obter
só com dois wattímetros — use três medidas de potência (três wattímetros) ou meça diretamente as três correntes e três tensões de fase para calcular
.
Resposta
Porque algebraicamente
é a parte real de uma combinação de produtos
com sinais diferentes enquanto
é a parte imaginária da soma fase a fase
; em carga desequilibrada aparecem termos cruzados (por exemplo com
) que não se cancelam, logo não há identidade geral ligando
a
. Apenas no caso simétrico (carga equilibrada) esses termos se anulam e então
.