Compare as duas expressões e demonstre que, em geral, Q_{T} \neq \sqrt{3}\left(W_{2}-W_{1}\right) para cargas desequilibradas.

Passo 1

O que o enunciado pede: comparar as duas expressões e demonstrar que, em geral, Q_{T} \neq \sqrt{3}\left(W_{2}-W_{1}\right) quando as cargas são desequilibradas.\n
Informações relevantes (assumidas para a demonstração):\n
  • Temos um sistema trifásico de três fios (sem neutro) com tensões de fase/fases V_{A},V_{B},V_{C} (fasores) e correntes de linha I_{A},I_{B},I_{C} (fasores). Para um sistema trifásico, vale a condição de conservação de corrente
I_{A}+I_{B}+I_{C}=0.
  • A potência complexa total do sistema é dada por
S_{T}=P_{T}+jQ_{T}=V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*},
onde P_{T}=\Re\{S_{T}\} é a potência ativa total e Q_{T}=\Im\{S_{T}\} é a potência reativa total. (O asterisco ^* indica conjugado complexo.)
  • Consideramos o método dos dois watímetros (dois medidores de potência). Na configuração padrão (uma das topologias usuais) temos os potencialômetros (bobinas de tensão) ligados entre as fases A e B e entre C e B, e as bobinas de corrente nas linhas A e C. Nessas conexões as leituras dos dois watímetros são
W_{1}=\Re\{V_{AB}\,I_{A}^{*}\},\qquad W_{2}=\Re\{V_{CB}\,I_{C}^{*}\},
com V_{AB}=V_{A}-V_{B} e V_{CB}=V_{C}-V_{B}.\n
O enunciado quer a comparação entre Q_{T} e \sqrt{3}\left(W_{2}-W_{1}\right) e a demonstração de que, para cargas desequilibradas, essa igualdade geralmente não ocorre.

Passo 2

Mostrando primeiro um resultado clássico (útil e que a gente precisa): a soma das leituras dos dois watímetros é sempre a potência ativa total, mesmo para cargas desequilibradas. Vamos provar isso passo a passo.\n
Começamos escrevendo W_{1} e W_{2} em função das tensões de fase:
W_{1}=\Re\{(V_{A}-V_{B})I_{A}^{*}\}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}-V_{B}I_{A}^{*}\},
W_{2}=\Re\{(V_{C}-V_{B})I_{C}^{*}\}=\Re\{V_{C}I_{C}^{*}-V_{B}I_{C}^{*}\}.
Somando,
W_{1}+W_{2}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}-V_{B}(I_{A}^{*}+I_{C}^{*})\}.
Usando I_{A}+I_{B}+I_{C}=0 obtemos I_{A}^{*}+I_{C}^{*}=-I_{B}^{*}. Substituindo,
W_{1}+W_{2}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}\}=\Re\{S_{T}\}=P_{T}.
Explicação didática: essa igualdade ocorre porque os termos com V_{B} se combinam através da condição de soma nula das correntes; a operação de tomar a parte real garante que estamos somando potências ativas. Conclusão útil: sempre vale
W_{1}+W_{2}=P_{T},
independente de desequilíbrio.

Passo 3

Agora vamos analisar a diferença W_{2}-W_{1} e relacioná‑la com as potências de fase. Começamos das expressões anteriores:
W_{2}-W_{1}=\Re\{V_{C}I_{C}^{*}-V_{B}I_{C}^{*}-V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{A}^{*}\}.
Agrupando,
W_{2}-W_{1}=\Re\{(V_{C}I_{C}^{*}-V_{A}I_{A}^{*})+V_{B}(I_{A}^{*}-I_{C}^{*})\}.
Essa expressão mostra claramente que W_{2}-W_{1} é a parte real de uma combinação linear dos termos V_{k}I_{k}^{*}. A potência reativa total é a parte imaginária da soma desses mesmos termos:
Q_{T}=\Im\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}\}.
Observação didática importante: W_{2}-W_{1} envolve partes reais de combinações que não coincidem, em geral, com a parte imaginária de S_{T}. Para transformar uma parte real em uma parte imaginária precisamos de deslocamentos angulares específicos (por exemplo multiplicação por j ou relações de fase fixas entre os termos). Portanto, a igualdade Q_{T}=\sqrt{3}(W_{2}-W_{1}) não é uma identidade algébrica geral — ela requer relações especiais entre os fasores V_{k} e I_{k}.

Passo 4

Mostramos quando a igualdade vale: caso equilibrado. Vou ensinar por que, com o caso equilibrado, surge a famosa fórmula.\n
Em carga equilibrada (e tensão equilibrada) temos tensões de fase iguais em módulo e defasadas de 120^\circ:
V_{A}=V\angle 0^\circ,\quad V_{B}=V\angle -120^\circ,\quad V_{C}=V\angle +120^\circ,
e correntes de linha com mesma amplitude e defasadas entre si de 120^\circ:
I_{A}=I\angle(-\varphi),\quad I_{B}=I\angle(-\varphi-120^\circ),\quad I_{C}=I\angle(-\varphi+120^\circ),
onde \varphi é o ângulo de defasagem tensão‑corrente de fase (o mesmo para as três fases em carga equilibrada).\n
Nesse caso padrão usa‑se a derivação conhecida (mostro a ideia principal): as leituras dos watímetros tornam‑se
W_{1}=V_{L}I_{L}\cos(\varphi-30^\circ),\qquad W_{2}=V_{L}I_{L}\cos(\varphi+30^\circ),
onde V_{L} e I_{L} são, respectivamente, a tensão de linha e a corrente de linha no sistema equilibrado. Fazendo a diferença:
W_{1}-W_{2}=V_{L}I_{L}\Big[\cos(\varphi-30^\circ)-\cos(\varphi+30^\circ)\Big].
Usando a identidade trigonométrica \cos(a)-\cos(b)=-2\sin\!\Big(\tfrac{a+b}{2}\Big)\sin\!\Big(\tfrac{a-b}{2}\Big) obtemos
W_{1}-W_{2}=V_{L}I_{L}\cdot\sin\varphi.
A potência reativa total no equilíbrio é
Q_{T}=\sqrt{3}V_{L}I_{L}\sin\varphi.
Comparando vemos então
Q_{T}=\sqrt{3}\,(W_{1}-W_{2}).
Dependendo da convenção de ligação dos watímetros, o sinal pode inverter e aparece a forma Q_{T}=\sqrt{3}(W_{2}-W_{1}); o ponto crucial é: sob equilíbrio e simetria, a diferença das leituras dos watímetros está diretamente ligada à parte imaginária total por um fator \sqrt{3}. Portanto, no caso equilibrado a igualdade vale (com atenção ao sinal, que depende de qual medidor fica maior).

Passo 5

Demonstração por contraprova (exemplo numérico) — para ver nitidamente que, em geral, a igualdade NÃO vale quando a carga está desequilibrada.\n
Escolho um exemplo simples com tensões equilibradas em fase mas correntes desequilibradas (a soma das correntes é zero, como em três fios). Considere:
V_{A}=100\angle 0^\circ,\quad V_{B}=100\angle -120^\circ,\quad V_{C}=100\angle +120^\circ.
Correntes (escolhidas de forma que I_{A}+I_{B}+I_{C}=0):
I_{A}=10\angle 0^\circ,\qquad I_{B}=5\angle -120^\circ,\qquad I_{C}=-(I_{A}+I_{B})=-7{,}5\angle +150^\circ\\ (\text{equivalente a }\,-7{,}5+ j4{,}330127).
Passo a passo de cálculos (mostro valores principais):\n
  • Potências de fase (usar S_{k}=V_{k}I_{k}^{*}) e somar para obter S_{T}. Calculando rapidamente obtemos
S_{T}=2250-j433{,}0124,
portanto
P_{T}=2250,\qquad Q_{T}=-433{,}0124.
  • Leituras dos watímetros pela definição adotada W_{1}=\Re\{V_{AB}I_{A}^{*}\} e W_{2}=\Re\{V_{CB}I_{C}^{*}\}. Calculando obtemos
W_{1}=1500,\qquad W_{2}=750.
Verificamos que W_{1}+W_{2}=2250=P_{T}, como prometido.\n
  • Agora calcule \sqrt{3}\left(W_{2}-W_{1}\right):
W_{2}-W_{1}=750-1500=-750,
\sqrt{3}(W_{2}-W_{1})\approx 1{,}73205\times(-750)\approx -1299{,}038.
Comparando com Q_{T}=-433{,}0124 vemos que
\sqrt{3}(W_{2}-W_{1})\neq Q_{T},
no caso particular obtivemos \sqrt{3}(W_{2}-W_{1})\approx -1299{,}038 enquanto Q_{T}\approx -433{,}0124. Isto confirma que, para carga desequilibrada, a relação não se mantém.

Passo 6

Conclusão e interpretação pedagógica (resumo prático para a prova):\n
  • A identidade W_{1}+W_{2}=P_{T} é geral e vale mesmo para cargas desequilibradas.\n
  • A outra identidade do método dos dois watímetros que liga a diferença das leituras à potência reativa total,
Q_{T}=\sqrt{3}\big(W_{2}-W_{1}\big),
é válida apenas em condições de equilíbrio (tensões e correntes simétricas de fase) e com a convenção correta de sinal; fora disso, essa igualdade geralmente NÃO vale.\n
  • No momento da prova: sempre use W_{1}+W_{2}=P_{T} sem medo. Para relacionar W_{2}-W_{1} com Q_{T} verifique primeiro se a carga é equilibrada; se não for, não aplique a fórmula Q_{T}=\sqrt{3}(W_{2}-W_{1}).

Resposta

Não, em geral Q_{T}\neq \sqrt{3}\left(W_{2}-W_{1}\right) para cargas desequilibradas; a igualdade só vale no caso de carga (e tensões) equilibradas, com as devidas convenções de sinal.

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