Compare as duas expressões e demonstre que, em geral,
para cargas desequilibradas.
Passo 1
O que o enunciado pede: comparar as duas expressões e demonstrar que, em geral,
quando as cargas são desequilibradas.\n
Informações relevantes (assumidas para a demonstração):\n
Informações relevantes (assumidas para a demonstração):\n
- Temos um sistema trifásico de três fios (sem neutro) com tensões de fase/fases
(fasores) e correntes de linha (fasores). Para um sistema trifásico, vale a condição de conservação de corrente
- A potência complexa total do sistema é dada por
onde
é a potência ativa total e
é a potência reativa total. (O asterisco
indica conjugado complexo.)
- Consideramos o método dos dois watímetros (dois medidores de potência). Na configuração padrão (uma das topologias usuais) temos os potencialômetros (bobinas de tensão) ligados entre as fases
e e entre e , e as bobinas de corrente nas linhas e . Nessas conexões as leituras dos dois watímetros são
com
e
.\n
O enunciado quer a comparação entre e
e a demonstração de que, para cargas desequilibradas, essa igualdade geralmente não ocorre.
O enunciado quer a comparação entre
Passo 2
Mostrando primeiro um resultado clássico (útil e que a gente precisa): a soma das leituras dos dois watímetros é sempre a potência ativa total, mesmo para cargas desequilibradas. Vamos provar isso passo a passo.\n
Começamos escrevendo e
em função das tensões de fase:
Começamos escrevendo
Somando,
Usando
obtemos
. Substituindo,
Explicação didática: essa igualdade ocorre porque os termos com
se combinam através da condição de soma nula das correntes; a operação de tomar a parte real garante que estamos somando potências ativas. Conclusão útil: sempre vale
independente de desequilíbrio.
Passo 3
Agora vamos analisar a diferença
e relacioná‑la com as potências de fase. Começamos das expressões anteriores:
Agrupando,
Essa expressão mostra claramente que
é a parte real de uma combinação linear dos termos
. A potência reativa total é a parte imaginária da soma desses mesmos termos:
Observação didática importante:
envolve partes reais de combinações que não coincidem, em geral, com a parte imaginária de
. Para transformar uma parte real em uma parte imaginária precisamos de deslocamentos angulares específicos (por exemplo multiplicação por
ou relações de fase fixas entre os termos). Portanto, a igualdade
não é uma identidade algébrica geral — ela requer relações especiais entre os fasores
e
.
Passo 4
Mostramos quando a igualdade vale: caso equilibrado. Vou ensinar por que, com o caso equilibrado, surge a famosa fórmula.\n
Em carga equilibrada (e tensão equilibrada) temos tensões de fase iguais em módulo e defasadas de :
Em carga equilibrada (e tensão equilibrada) temos tensões de fase iguais em módulo e defasadas de
e correntes de linha com mesma amplitude e defasadas entre si de
:
onde
é o ângulo de defasagem tensão‑corrente de fase (o mesmo para as três fases em carga equilibrada).\n
Nesse caso padrão usa‑se a derivação conhecida (mostro a ideia principal): as leituras dos watímetros tornam‑se
Nesse caso padrão usa‑se a derivação conhecida (mostro a ideia principal): as leituras dos watímetros tornam‑se
onde
e
são, respectivamente, a tensão de linha e a corrente de linha no sistema equilibrado. Fazendo a diferença:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
A potência reativa total no equilíbrio é
Comparando vemos então
Dependendo da convenção de ligação dos watímetros, o sinal pode inverter e aparece a forma
; o ponto crucial é: sob equilíbrio e simetria, a diferença das leituras dos watímetros está diretamente ligada à parte imaginária total por um fator
. Portanto, no caso equilibrado a igualdade vale (com atenção ao sinal, que depende de qual medidor fica maior).
Passo 5
Demonstração por contraprova (exemplo numérico) — para ver nitidamente que, em geral, a igualdade NÃO vale quando a carga está desequilibrada.\n
Escolho um exemplo simples com tensões equilibradas em fase mas correntes desequilibradas (a soma das correntes é zero, como em três fios). Considere:
Escolho um exemplo simples com tensões equilibradas em fase mas correntes desequilibradas (a soma das correntes é zero, como em três fios). Considere:
Correntes (escolhidas de forma que
):
Passo a passo de cálculos (mostro valores principais):\n
- Potências de fase (usar
) e somar para obter . Calculando rapidamente obtemos
portanto
- Leituras dos watímetros pela definição adotada
e . Calculando obtemos
Verificamos que
, como prometido.\n
- Agora calcule
:
Comparando com
vemos que
no caso particular obtivemos
enquanto
. Isto confirma que, para carga desequilibrada, a relação não se mantém.
Passo 6
Conclusão e interpretação pedagógica (resumo prático para a prova):\n
- A identidade
é geral e vale mesmo para cargas desequilibradas.\n - A outra identidade do método dos dois watímetros que liga a diferença das leituras à potência reativa total,
é válida apenas em condições de equilíbrio (tensões e correntes simétricas de fase) e com a convenção correta de sinal; fora disso, essa igualdade geralmente NÃO vale.\n
- No momento da prova: sempre use
sem medo. Para relacionar com verifique primeiro se a carga é equilibrada; se não for, não aplique a fórmula .
Resposta
Não, em geral
para cargas desequilibradas; a igualdade só vale no caso de carga (e tensões) equilibradas, com as devidas convenções de sinal.