Calcule o diferencial de cada uma das funções a seguir:
w=8 x^{4} y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o diferencial da função w dada por
w = 8 x^{4} y.
Informações relevantes que temos:
  • A função depende de duas variáveis independentes: x e y.
  • Queremos o diferencial total (ou simplesmente “diferencial”) dw, que relaciona pequenas variações dx e dy com a variação correspondente em w.

Passo 2

O que é o diferencial total? Vou explicar de um jeito prático e direto: se w=w(x,y), o diferencial total dw é a aproximação linear da variação de w quando x varia de x para x+dx e y varia de y para y+dy. A fórmula que usamos é
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy.
Aqui:
  • \frac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x, mantendo y constante.
  • \frac{\partial w}{\partial y} é a derivada parcial de w em relação a y, mantendo x constante.
  • dx e dy representam pequenas variações em x e y.

Passo 3

Vamos calcular \frac{\partial w}{\partial x}. A função é \;w=8x^{4}y\;. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante e aplicamos a regra do poder (power rule): se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Além disso, constantes multiplicativas passam para fora da derivada. Portanto,
\frac{\partial w}{\partial x} = 8 \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)\cdot y = 8 \cdot 4x^{3}\cdot y = 32 x^{3} y.
Expliquei passo a passo: a constante 8 sai, y é constante, e \frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial w}{\partial y}. Mantemos x constante e derivamos em relação a y. Como w é linear em y (multiplicado por 8x^{4}, que é constante quando derivamos em relação a y), temos
\frac{\partial w}{\partial y} = 8 x^{4} \cdot \frac{d}{dy}(y) = 8 x^{4} \cdot 1 = 8 x^{4}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula do diferencial total que escrevi no Passo 2 e juntamos as derivadas parciais que acabamos de obter. Assim,
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy = \bigl(32 x^{3} y\bigr)\,dx + \bigl(8 x^{4}\bigr)\,dy.

Passo 6

Interpretação rápida e cheirinho de verificação: se você variar só x (ou seja, dy=0), a variação aproximada de w é dw=32x^{3}y\,dx — faz sentido porque então y é constante e deriva-se 8x^{4}y em relação a x. Se variar só y (ou seja, dx=0), então dw=8x^{4}\,dy — também faz sentido porque w é linear em y com coeficiente 8x^{4}. Esses dois casos especiais ajudam a verificar que os termos estão corretos.

Resposta

dw = 32 x^{3} y\,dx + 8 x^{4}\,dy

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