Calcule o diferencial de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o diferencial da função
dada por
Informações relevantes que temos:
- A função depende de duas variáveis independentes:
e . - Queremos o diferencial total (ou simplesmente “diferencial”)
, que relaciona pequenas variações e com a variação correspondente em .
Passo 2
O que é o diferencial total? Vou explicar de um jeito prático e direto: se
, o diferencial total
é a aproximação linear da variação de
quando
varia de
para
e
varia de
para
. A fórmula que usamos é
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , mantendo constante. -
é a derivada parcial de em relação a , mantendo constante. -
e representam pequenas variações em e .
Passo 3
Vamos calcular
. A função é
Ao derivar em relação a
tratamos
como constante e aplicamos a regra do poder (power rule): se
então
. Além disso, constantes multiplicativas passam para fora da derivada. Portanto,
Expliquei passo a passo: a constante
sai,
é constante, e
.
Passo 4
Agora calculamos
. Mantemos
constante e derivamos em relação a
. Como
é linear em
(multiplicado por
, que é constante quando derivamos em relação a
), temos
Passo 5
Agora usamos a fórmula do diferencial total que escrevi no Passo 2 e juntamos as derivadas parciais que acabamos de obter. Assim,
Passo 6
Interpretação rápida e cheirinho de verificação: se você variar só
(ou seja,
), a variação aproximada de
é
— faz sentido porque então
é constante e deriva-se
em relação a
. Se variar só
(ou seja,
), então
— também faz sentido porque
é linear em
com coeficiente
. Esses dois casos especiais ajudam a verificar que os termos estão corretos.