Encontre as derivadas indicadas.
Dada
, encontre
.
Dada
Passo 1
Enunciado e o que se pede.
Dada , encontre as derivadas parciais mistas
.
Informações relevantes do enunciado:
Dada
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - Para existir
precisamos de , portanto . - Pedem as derivadas parciais mistas de segunda ordem:
Passo 2
Simplificar a expressão para facilitar as derivadas (usar propriedades do log e da exponencial).
Usando e
, temos:
Usando
Como
e
, fica
Essa forma é mais prática para derivar; podemos também trabalhar com a forma
onde
.
Passo 3
Regra que vamos usar (cadeia para exponencial).
Se , então a derivada parcial em relação a uma variável, por cadeia, é
Se
ou seja, a derivada da exponencial é a própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente. Vou aplicar isso para
. Também usarei derivadas básicas:
se diferenciando em relação a
, e
;
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais do expoente
.
- Derivando em relação a
:
- Derivando em relação a
: usar , então
- Derivando em relação a
:
Passo 5
Obter as primeiras derivadas parciais de
usando a cadeia (multiplicar
por
).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Lembre que aqui
é a própria função
(ou
).
Passo 6
Calcular as mistas pedidas usando as primeiras derivadas.
Cálculo de
: derivar
em relação a
.
(ou, escrevendo
, temos
, mas manterei a forma com
ou com a exponencial original conforme for mais claro.)
Cálculo de
: derivar
em relação a
. Note que
é constante relativamente a
, então
(Usando a forma
dá o mesmo resultado ao substituir
.)
Cálculo de
: derivar
em relação a
.
Passo 7
Verificação rápida de consistência (opcional mas útil): pelas condições usuais de suavidade
e
. Por exemplo, calculando
a partir de
e derivando em
obtemos
, que coincide com
acima.