Encontre as derivadas indicadas.
Dada f(x, y, z)=e^{\ln \left(2 y^{4}\right)-x+\cos (z)}, encontre f_{x y}, f_{y z}, f_{x z}.

Passo 1

Enunciado e o que se pede.
Dada f(x,y,z)=e^{\ln\left(2y^{4}\right)-x+\cos(z)}, encontre as derivadas parciais mistas f_{xy},\;f_{yz},\;f_{xz}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f(x,y,z)=e^{\ln\left(2y^{4}\right)-x+\cos(z)}.
  • Para existir \ln\left(2y^{4}\right) precisamos de 2y^{4}>0, portanto y\neq0.
  • Pedem as derivadas parciais mistas de segunda ordem: \;f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\;f_{yz}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),\;f_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).

Passo 2

Simplificar a expressão para facilitar as derivadas (usar propriedades do log e da exponencial).
Usando \ln\left(2y^{4}\right)=\ln 2 + \ln\left(y^{4}\right)=\ln 2 + 4\ln y e e^{a+b}=e^{a}e^{b}, temos:
f(x,y,z)=e^{\ln 2 + 4\ln y - x + \cos z}=e^{\ln 2}\,e^{4\ln y}\,e^{-x}\,e^{\cos z}.
Como e^{\ln 2}=2 e e^{4\ln y}=y^{4}, fica
f(x,y,z)=2\,y^{4}\,e^{-x+\cos z}.
Essa forma é mais prática para derivar; podemos também trabalhar com a forma f=e^{g} onde g(x,y,z)=\ln(2y^{4})-x+\cos z.

Passo 3

Regra que vamos usar (cadeia para exponencial).
Se f(x,y,z)=e^{g(x,y,z)}, então a derivada parcial em relação a uma variável, por cadeia, é
\frac{\partial f}{\partial u}=f\cdot \frac{\partial g}{\partial u},
ou seja, a derivada da exponencial é a própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente. Vou aplicar isso para u=x,y,z. Também usarei derivadas básicas: \frac{d}{dx}\ln y = 0 se diferenciando em relação a x, e \frac{d}{dy}\ln y = 1/y; \frac{d}{dz}\cos z = -\sin z.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais do expoente g(x,y,z)=\ln(2y^{4})-x+\cos z.
  • Derivando em relação a x:
\frac{\partial g}{\partial x}=-1.
  • Derivando em relação a y: usar \ln(2y^{4})= \ln 2 +4\ln y, então
\frac{\partial g}{\partial y}=4\cdot\frac{1}{y}=\frac{4}{y}.
  • Derivando em relação a z:
\frac{\partial g}{\partial z}=-\sin z.

Passo 5

Obter as primeiras derivadas parciais de f usando a cadeia (multiplicar f por \partial g/\partial u).
  • Em x:
f_{x}=f\cdot \frac{\partial g}{\partial x}=f\cdot(-1)=-f.
  • Em y:
f_{y}=f\cdot \frac{\partial g}{\partial y}=f\cdot\frac{4}{y}=\frac{4}{y}f.
  • Em z:
f_{z}=f\cdot \frac{\partial g}{\partial z}=f\cdot(-\sin z)=-\sin z\,f.
Lembre que aqui f é a própria função e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z} (ou 2y^{4}e^{-x+\cos z}).

Passo 6

Calcular as mistas pedidas usando as primeiras derivadas.
Cálculo de f_{xy}: derivar f_{x}=-f em relação a y.
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(-f)=-\,f_{y}=-\frac{4}{y}f=-\frac{4}{y}\,e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z}.
(ou, escrevendo f=2y^{4}e^{-x+\cos z}, temos f_{xy}=-\dfrac{4}{y}\,2y^{4}e^{-x+\cos z}=-8y^{3}e^{-x+\cos z}, mas manterei a forma com f ou com a exponencial original conforme for mais claro.)
Cálculo de f_{yz}: derivar f_{y}=\dfrac{4}{y}f em relação a z. Note que \dfrac{4}{y} é constante relativamente a z, então
f_{yz}=\frac{4}{y}\,f_{z}=\frac{4}{y}\,(-\sin z\,f)=-\frac{4\sin z}{y}\,f=-\frac{4\sin z}{y}\,e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z}.
(Usando a forma 2y^{4}e^{-x+\cos z} dá o mesmo resultado ao substituir f.)
Cálculo de f_{xz}: derivar f_{x}=-f em relação a z.
f_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}(-f)=-f_{z}=-(-\sin z\,f)=\sin z\,f=\sin z\,e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (opcional mas útil): pelas condições usuais de suavidade f_{xz}=f_{zx} e f_{xy}=f_{yx}. Por exemplo, calculando f_{zx} a partir de f_{z}=-\sin z\,f e derivando em x obtemos f_{zx}=-\sin z\,f_{x}=-\sin z(-f)=\sin z\,f, que coincide com f_{xz} acima.

Resposta

f_{xy}=-\frac{4}{y}\,e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z}
f_{yz}=-\frac{4\sin z}{y}\,e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z}
f_{xz}=\sin z\,e^{\ln(2y^{4})-x+\cos z}

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