Calcule o diferencial de cada uma das funções a seguir:
A(x, y, z)=e^{\operatorname{sec} (x z)+y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o diferencial da função A(x,y,z)=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}.
Informações dadas: a função depende das variáveis x, y e z; a expressão explícita é \displaystyle A(x,y,z)=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}.
O que se pede: encontrar dA, o diferencial total de A.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar: o diferencial total de uma função de três variáveis A(x,y,z) é
dA=\frac{\partial A}{\partial x}\,dx+\frac{\partial A}{\partial y}\,dy+\frac{\partial A}{\partial z}\,dz.
Aqui \frac{\partial A}{\partial x} significa a derivada parcial de A em relação a x mantendo y e z fixos; dx,dy,dz representam pequenas variações em x,y,z.
Para encontrar dA precisamos calcular as três derivadas parciais e substituí‑las na fórmula acima. Vamos usar a regra da cadeia: se A=e^{u} com u=\operatorname{sec}(xz)+y, então \frac{\partial A}{\partial x}=e^{u}\frac{\partial u}{\partial x}, etc. Também precisamos da derivada de \operatorname{sec}(t), que é \frac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\cdot\tan t. E ao derivar xz em relação a x tratamos z como constante e obtemos z; em relação a z obtemos x.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial A}{\partial x}. Seja u(x,y,z)=\operatorname{sec}(xz)+y. Aplicando regra da cadeia:
\frac{\partial A}{\partial x}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(xz)+\frac{d}{dx}y. Como y é tratado como constante ao derivar em relação a x, temos \frac{d}{dx}y=0. E
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(xz)=\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\cdot\frac{d}{dx}(xz)=\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\cdot z.
Portanto
\frac{\partial A}{\partial x}=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}\cdot z\operatorname{sec}(xz)\tan(xz).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial A}{\partial y}. Usando A=e^{u} com u=\operatorname{sec}(xz)+y,
\frac{\partial A}{\partial y}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=1 porque u contém +y linearmente. Logo
\frac{\partial A}{\partial y}=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial A}{\partial z}. Igual ao caso de x,
\frac{\partial A}{\partial z}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial z}.
E
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{d}{dz}\operatorname{sec}(xz)+\frac{d}{dz}y=\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\cdot\frac{d}{dz}(xz)=\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\cdot x.
Portanto
\frac{\partial A}{\partial z}=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}\cdot x\operatorname{sec}(xz)\tan(xz).

Passo 6

Agora juntamos as parciais na fórmula do diferencial total:
dA=\frac{\partial A}{\partial x}\,dx+\frac{\partial A}{\partial y}\,dy+\frac{\partial A}{\partial z}\,dz.
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos
dA=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}\bigl(z\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\,dx + dy + x\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\,dz\bigr).

Resposta

dA=e^{\operatorname{sec}(xz)+y}\bigl(z\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\,dx + dy + x\operatorname{sec}(xz)\tan(xz)\,dz\bigr)

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