Calcule o diferencial de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o diferencial da função
.
Informações dadas: a função depende das variáveis ,
e
; a expressão explícita é
.
O que se pede: encontrar , o diferencial total de
.
Informações dadas: a função depende das variáveis
O que se pede: encontrar
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar: o diferencial total de uma função de três variáveis
é
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
e
fixos;
representam pequenas variações em
.
Para encontrar precisamos calcular as três derivadas parciais e substituí‑las na fórmula acima. Vamos usar a regra da cadeia: se
com
, então
, etc. Também precisamos da derivada de
, que é
. E ao derivar
em relação a
tratamos
como constante e obtemos
; em relação a
obtemos
.
Para encontrar
Passo 3
Calcular
. Seja
. Aplicando regra da cadeia:
Agora
. Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
, temos
. E
Portanto
Passo 4
Calcular
. Usando
com
,
Aqui
porque
contém
linearmente. Logo
Passo 5
Calcular
. Igual ao caso de
,
E
Portanto
Passo 6
Agora juntamos as parciais na fórmula do diferencial total:
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos