Calcule a diferencial d y sendo y=\sqrt{x}, x=4 e d x=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a diferencial \mathrm{d}y sabendo que y=\sqrt{x}, que x=4 e que \mathrm{d}x=1.
Informações dadas:
  • A função: y=\sqrt{x}.
  • O ponto onde avaliar: x=4.
  • O valor do incremento diferencial: \mathrm{d}x=1.

Passo 2

Conceito que vamos usar: a diferencial \mathrm{d}y é definida por
\mathrm{d}y = y'(x)\,\mathrm{d}x,
onde y'(x) é a derivada de y em relação a x e \mathrm{d}x é o incremento (pequeno) de x. Em palavras: a diferencial é a aproximação linear da variação de y quando x muda de forma infinitesimal.

Passo 3

Calcular a derivada de y=\sqrt{x}. Primeiro reescrevemos como potência:
y = x^{1/2}.
Usamos a regra do poder (power rule): para y=x^{n} vale y'=n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
y'(x)=\tfrac{1}{2}x^{\,\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 4

Escrever y'(x) de forma mais explícita em raízes:
y'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto a fórmula da diferencial fica
\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Agora substituímos x=4 e \mathrm{d}x=1. Primeiro calcule \sqrt{4}:
\sqrt{4}=2.
Então
\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2\cdot 2}\cdot 1=\dfrac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação curta e dica para a prova: \mathrm{d}y=\tfrac{1}{4} é a variação linear aproximada de y quando x passa por um incremento \mathrm{d}x=1 a partir de x=4. Em muitos exercícios de prova basta aplicar a fórmula \mathrm{d}y=y'(x)\,\mathrm{d}x e avaliar no ponto pedido.

Resposta

\mathrm{d}y=\tfrac{1}{4}

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