Encontre a diferencial du sendo:
u=\operatorname{sen} x

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a diferencial du para a função u=\operatorname{sen} x. Em outras palavras, expressar o pequeno incremento linear du em função de dx e de x.
Informações dadas / observações úteis (peguei estes dados da imagem anexa):
  • A imagem mostra um gráfico de y=f(x) com um ponto P(x,y).
  • A imagem indica um pequeno incremento horizontal \Delta x identificado como \Delta x = dx.
  • A imagem mostra a diferença real \Delta y e a diferença linear (a “diferencial”) dy ligada à reta tangente no ponto.
  • A imagem ilustra que a diferencial é a aproximação linear da variação da função quando dx é pequeno.

Passo 2

O que é a diferencial de uma função? Vamos entender devagar e com calma.
Definição intuitiva e fórmula básica:
  • Se u é função de x, isto é u=u(x), o derivado de u em x é
\frac{du}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x},
onde \Delta u = u(x+\Delta x)-u(x).
  • Para um \Delta x pequeno (que chamamos de dx), a variação \Delta u é bem aproximada pela parte linear:
\Delta u \approx u'(x)\,\Delta x.
  • Por definição prática em cálculo diferencial, a diferencial du é essa aproximação linear escrita com dx:
du := u'(x)\,dx.
Aqui:
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • dx é um pequeno incremento independente da variável x.
  • du é a aproximação linear de \Delta u quando dx é pequeno.
Intuição geométrica (ligada à imagem): du é a variação vertical dada pela reta tangente no ponto quando se desloca dx na horizontal.

Passo 3

Agora aplicamos a definição ao caso concreto u=\operatorname{sen} x. Primeiro precisamos do derivado de \operatorname{sen} x.
Cálculo do derivado pela definição (passo a passo):
u'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}.
Usamos a identidade de adição de ângulos:
\operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h.
Substituindo na diferença:
\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x = \operatorname{sen}x(\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen}h.
Dividindo por h e tomando limite:
u'(x)=\lim_{h\to 0}\left[\operatorname{sen}x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h}\right].
Sabemos (resultados clássicos de limites trigonométricos) que
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Usando esses limites obtemos:
u'(x)=\operatorname{sen}x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x.
Breve justificativa dos limites usados (intuição):
  • Para h pequeno, \operatorname{sen}h\approx h (pequeno-arco), então \operatorname{sen}h/h\to 1.
  • E \cos h-1 é da ordem de h^{2} (expansão \cos h\approx 1-\tfrac{h^{2}}{2}), logo (\cos h-1)/h\to 0.

Passo 4

Relacionando com a diferencial geral do Passo 2: para qualquer função u(x) vale du = u'(x)\,dx. Como aqui u'(x)=\cos x, a fórmula prática que usamos em exercícios e provas é
du = (\text{derivada de }u)\cdot dx = \cos x\; dx.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar (aplicação prática):
  • Suponha x=\tfrac{\pi}{6} e dx=0,01.
  • Então \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025.
  • A diferencial dá a aproximação da variação:
du \approx 0,866025\times 0,01 \approx 0,00866025.
Isto significa que se x aumentar de \tfrac{\pi}{6} para \tfrac{\pi}{6}+0,01, a função \operatorname{sen}x aumentará aproximadamente 0,00866.

Passo 6

Dicas para a prova (rápido e prático):
  • Lembre sempre: diferencial = derivada vezes dx.
  • Para funções trigonométricas básicas: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x, \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen}x.
  • Trate dx como “um pequeno deslocamento” — é a quantidade que você multiplica pela derivada para obter a aproximação linear.
  • Se precisar, faça um pequeno exemplo numérico (como no Passo 5) para conferir escala e sentido do resultado.

Resposta

du=\cos x\,dx

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