Encontre a diferencial du sendo:
u=\operatorname{sen} x
u=\operatorname{sen} x
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a diferencial
para a função
. Em outras palavras, expressar o pequeno incremento linear
em função de
e de
.
Informações dadas / observações úteis (peguei estes dados da imagem anexa):
- A imagem mostra um gráfico de
com um ponto . - A imagem indica um pequeno incremento horizontal
identificado como . - A imagem mostra a diferença real
e a diferença linear (a “diferencial”) ligada à reta tangente no ponto. - A imagem ilustra que a diferencial é a aproximação linear da variação da função quando
é pequeno.
Passo 2
O que é a diferencial de uma função? Vamos entender devagar e com calma.
Definição intuitiva e fórmula básica:
- Se
é função de , isto é , o derivado de em é
onde
.
- Para um
pequeno (que chamamos de ), a variação é bem aproximada pela parte linear:
- Por definição prática em cálculo diferencial, a diferencial
é essa aproximação linear escrita com :
Aqui:
-
é a derivada de em relação a . -
é um pequeno incremento independente da variável . -
é a aproximação linear de quando é pequeno.
Intuição geométrica (ligada à imagem):
é a variação vertical dada pela reta tangente no ponto quando se desloca
na horizontal.
Passo 3
Agora aplicamos a definição ao caso concreto
. Primeiro precisamos do derivado de
.
Cálculo do derivado pela definição (passo a passo):
Usamos a identidade de adição de ângulos:
Substituindo na diferença:
Dividindo por
e tomando limite:
Sabemos (resultados clássicos de limites trigonométricos) que
Usando esses limites obtemos:
Breve justificativa dos limites usados (intuição):
- Para
pequeno, (pequeno-arco), então . - E
é da ordem de (expansão ), logo .
Passo 4
Relacionando com a diferencial geral do Passo 2: para qualquer função
vale
. Como aqui
, a fórmula prática que usamos em exercícios e provas é
Passo 5
Exemplo numérico para fixar (aplicação prática):
- Suponha
e . - Então
. - A diferencial dá a aproximação da variação:
Isto significa que se
aumentar de
para
, a função
aumentará aproximadamente
.
Passo 6
Dicas para a prova (rápido e prático):
- Lembre sempre: diferencial = derivada vezes
. - Para funções trigonométricas básicas:
, . - Trate
como “um pequeno deslocamento” — é a quantidade que você multiplica pela derivada para obter a aproximação linear. - Se precisar, faça um pequeno exemplo numérico (como no Passo 5) para conferir escala e sentido do resultado.