Calcule o diferencial total das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:\n
- A função dada é
.\n - O pedido: calcular o diferencial total de
, ou seja, encontrar em termos de , e .\n - Informação importante do domínio: a função está definida quando
(não está definida no ponto porque o argumento do precisa ser positivo).
Passo 2
O que é o diferencial total e como vamos usá-lo (explicação didática):\n
- Para uma função
diferenciável, o diferencial total é a melhor aproximação linear de quando os incrementos são pequenos. Em fórmula:
onde
,
,
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.\n
- Intuição:
é a taxa de variação de quando só muda; multiplicando por obtemos a contribuição de para a variação total. Mesma ideia para e . Somando as três contribuições lineares obtemos a variação aproximada .
Passo 3
Preparação para derivar: usar a regra da cadeia (aula rápida e simples):\n
- Escrever
. Então .\n - A regra da cadeia diz que, para
, . Aqui depende de , , .\n - Vamos aplicar isso passo a passo para cada variável.
Passo 4
Calcular a derivada parcial em relação a
:\n
- Primeiro calcule
com . Como e são tratados como constantes ao derivar em ,
- Usando a regra da cadeia,
- Interpretação rápida: quanto maior
(para dados ), maior a contribuição de para a variação de .
Passo 5
Calcular as derivadas parciais em relação a
e
(mesma ideia, passo a passo):\n
- Para
:
- Para
:
- Notar que as três expressões têm a mesma estrutura: numerador
vezes a coordenada correspondente, e denominador igual ao somatório de quadrados.
Passo 6
Montar o diferencial total substituindo as derivadas parciais na fórmula do Passo 2:\n
- Substituindo
, , em , obtemos
- Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 7
Interpretação e uso prático (dica de prova e exemplo rápido):\n
- Essa expressão é útil para aproximar a variação de
quando são pequenos: .\n - Exemplo numérico rápido: em
e para pequenos incrementos , , ,
Isso significa que
aumentaria aproximadamente
para esse pequeno passo na direção do eixo
.\n
- Lembre-se de que a fórmula só vale onde
; no ponto a função não está definida.