Calcule o diferencial total das seguintes funções:
f(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:\n
  • A função dada é f(x,y,z)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big).\n
  • O pedido: calcular o diferencial total de f, ou seja, encontrar df em termos de dx, dy e dz.\n
  • Informação importante do domínio: a função está definida quando x^{2}+y^{2}+z^{2}>0 (não está definida no ponto (0,0,0) porque o argumento do \ln precisa ser positivo).

Passo 2

O que é o diferencial total e como vamos usá-lo (explicação didática):\n
  • Para uma função f(x,y,z) diferenciável, o diferencial total df é a melhor aproximação linear de f quando os incrementos (dx,dy,dz) são pequenos. Em fórmula:
df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz,
onde f_x, f_y, f_z são as derivadas parciais de f em relação a x, y e z, respectivamente.\n
  • Intuição: f_x é a taxa de variação de f quando só x muda; multiplicando por dx obtemos a contribuição de x para a variação total. Mesma ideia para y e z. Somando as três contribuições lineares obtemos a variação aproximada df.

Passo 3

Preparação para derivar: usar a regra da cadeia (aula rápida e simples):\n
  • Escrever u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então f(x,y,z)=\ln(u).\n
  • A regra da cadeia diz que, para f=\ln(u), \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}. Aqui u depende de x, y, z.\n
  • Vamos aplicar isso passo a passo para cada variável.

Passo 4

Calcular a derivada parcial em relação a x:\n
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial u}{\partial x} com u=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Como y e z são tratados como constantes ao derivar em x,
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x.
  • Usando a regra da cadeia,
f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{u}\cdot 2x=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Interpretação rápida: quanto maior x (para dados y,z), maior a contribuição de x para a variação de f.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais em relação a y e z (mesma ideia, passo a passo):\n
  • Para y:
\dfrac{\partial u}{\partial y}=2y, \qquad f_y=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Para z:
\dfrac{\partial u}{\partial z}=2z, \qquad f_z=\dfrac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Notar que as três expressões têm a mesma estrutura: numerador 2 vezes a coordenada correspondente, e denominador igual ao somatório de quadrados.

Passo 6

Montar o diferencial total substituindo as derivadas parciais na fórmula do Passo 2:\n
  • Substituindo f_x, f_y, f_z em df=f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz, obtemos
df = \dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx + \dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dy + \dfrac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz.
  • Podemos fatorar \dfrac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} para ficar mais compacto:
df = \dfrac{2\big(x\,dx + y\,dy + z\,dz\big)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 7

Interpretação e uso prático (dica de prova e exemplo rápido):\n
  • Essa expressão é útil para aproximar a variação de f quando dx,dy,dz são pequenos: \Delta f \approx df.\n
  • Exemplo numérico rápido: em (x,y,z)=(1,1,1) e para pequenos incrementos dx=0{,}01, dy=0, dz=0,
df = \dfrac{2(1\cdot 0{,}01 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0)}{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \dfrac{2\cdot 0{,}01}{3} \approx 0{,}006666\ldots
Isso significa que f aumentaria aproximadamente 0{,}00667 para esse pequeno passo na direção do eixo x.\n
  • Lembre-se de que a fórmula só vale onde x^{2}+y^{2}+z^{2}>0; no ponto (0,0,0) a função não está definida.

Resposta

df = \dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx + \dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dy + \dfrac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz
\text{ou}\qquad df = \dfrac{2\big(x\,dx + y\,dy + z\,dz\big)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Exercícios relacionados