Calcule o diferencial total das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o diferencial total da função
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - As variáveis independentes são
e . - Não há valores numéricos específicos para
ou ; o pedido é a expressão geral do diferencial total.
Passo 2
O que é o diferencial total e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
- O diferencial total de uma função de duas variáveis
é uma aproximação linear da variação de quando e mudam um pouco. Chamamos as pequenas variações de e . - A fórmula geral é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante).
- Intuição:
é o produto do gradiente pelo vetor de incrementos . Isso dá a melhor aproximação linear de quando são pequenos.
Passo 3
Como calcular derivadas parciais — regras práticas (mini-aula).
- Regra para funções do tipo
: ao derivar parcialmente em , trate como constante; ao derivar em , trate como constante. - Derivadas elementares que vamos usar:
-
. -
(regra da cadeia: derivada de é ). -
. -
.
-
- Aplicando isso a cada termo da função faremos as parciais.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- A função é soma de dois termos, trate um de cada vez.
Termo 1:
.
- Ao derivar em
tratamos como constante. - Logo a derivada parcial desse termo é
.
Termo 2:
.
- Ao derivar em
tratamos como constante e aplicamos a derivada de , que é . - Logo a derivada parcial desse termo é
.
Somando os dois resultados:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- De novo, trate cada termo separadamente ao derivar em
.
Termo 1:
.
- Ao derivar em
tratamos como constante. - Derivada de
é . - Resultado:
.
Termo 2:
.
- Ao derivar em
tratamos como constante. - Derivada de
é . - Resultado:
.
Somando:
Passo 6
Montar o diferencial total usando a fórmula do Passo 2.
- Substituindo as derivadas parciais obtidas em
temos
Passo 7
Interpretação rápida e verificação de senso comum (ajuda para prova).
- Essa expressão é a combinação linear das pequenas variações
e com coeficientes que dependem de e . - Como checagem simples: se
e (varia-se só ), então coincide com , como deveria. Se e , .