Calcule o diferencial total das seguintes funções:
f(x, y)=e^{x} \cos y+e^{-x} \operatorname{sen} y.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o diferencial total da função f(x,y)=e^{x}\cos y + e^{-x}\sin y.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=e^{x}\cos y + e^{-x}\sin y.
  • As variáveis independentes são x e y.
  • Não há valores numéricos específicos para x ou y; o pedido é a expressão geral do diferencial total.

Passo 2

O que é o diferencial total e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • O diferencial total de uma função de duas variáveis f(x,y) é uma aproximação linear da variação de f quando x e y mudam um pouco. Chamamos as pequenas variações de dx e dy.
  • A fórmula geral é
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante).
  • Intuição: df é o produto do gradiente \big(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\big) pelo vetor de incrementos (dx,dy). Isso dá a melhor aproximação linear de f(x+dx,y+dy)-f(x,y) quando dx,dy são pequenos.

Passo 3

Como calcular derivadas parciais — regras práticas (mini-aula).
  • Regra para funções do tipo g(x)h(y): ao derivar parcialmente em x, trate h(y) como constante; ao derivar em y, trate g(x) como constante.
  • Derivadas elementares que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    • \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x} (regra da cadeia: derivada de -x é -1).
    • \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y.
    • \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.
  • Aplicando isso a cada termo da função faremos as parciais.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  • A função é soma de dois termos, trate um de cada vez.
Termo 1: e^{x}\cos y.
  • Ao derivar em x tratamos \cos y como constante.
  • Logo a derivada parcial desse termo é e^{x}\cos y.
Termo 2: e^{-x}\sin y.
  • Ao derivar em x tratamos \sin y como constante e aplicamos a derivada de e^{-x}, que é -e^{-x}.
  • Logo a derivada parcial desse termo é -e^{-x}\sin y.
Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cos y - e^{-x}\sin y.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  • De novo, trate cada termo separadamente ao derivar em y.
Termo 1: e^{x}\cos y.
  • Ao derivar em y tratamos e^{x} como constante.
  • Derivada de \cos y é -\sin y.
  • Resultado: -e^{x}\sin y.
Termo 2: e^{-x}\sin y.
  • Ao derivar em y tratamos e^{-x} como constante.
  • Derivada de \sin y é \cos y.
  • Resultado: e^{-x}\cos y.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y} = -e^{x}\sin y + e^{-x}\cos y.

Passo 6

Montar o diferencial total usando a fórmula do Passo 2.
  • Substituindo as derivadas parciais obtidas em
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,
temos
df = \big(e^{x}\cos y - e^{-x}\sin y\big)\,dx + \big(-e^{x}\sin y + e^{-x}\cos y\big)\,dy.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação de senso comum (ajuda para prova).
  • Essa expressão é a combinação linear das pequenas variações dx e dy com coeficientes que dependem de x e y.
  • Como checagem simples: se dx=1 e dy=0 (varia-se só x), então df coincide com \dfrac{\partial f}{\partial x}, como deveria. Se dx=0 e dy=1, df=\dfrac{\partial f}{\partial y}.

Resposta

df = \big(e^{x}\cos y - e^{-x}\sin y\big)\,dx + \big(-e^{x}\sin y + e^{-x}\cos y\big)\,dy

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