Calcule a variação aproximada das funções:
f(x, y)=\sqrt{\ln (x y)} entre os pontos (1 ; 1,2) e (1,016 ; 1,2).

Passo 1

O enunciado pede a variação aproximada da função f(x,y)=\sqrt{\ln(xy)} entre os pontos (1;1,2) e (1,016;1,2).
Informações dadas:
  • Função: f(x,y)=\sqrt{\ln(xy)}.
  • Ponto inicial: (x_0,y_0)=(1;1,2).
  • Ponto final: (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=(1,016;1,2).
  • Logo, \Delta x=0,016 e \Delta y=0.
O que é pedido explicitamente: calcular aproximadamente
\Delta f \approx f(1,016,\,1,2)-f(1,\,1,2),
usando uma aproximação adequada para variações pequenas.

Passo 2

Método escolhido: aproximação pelo diferencial total (linearização). Justificativa curta e didática: quando as mudanças \Delta x,\Delta y são pequenas, a variação de f pode ser aproximada pela soma das contribuições lineares das variações nas coordenadas. A fórmula do diferencial total é
\mathrm{d}f = f_x(x,y)\,\mathrm{d}x + f_y(x,y)\,\mathrm{d}y,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Na prática, para pequenas \Delta x,\Delta y usamos
\Delta f \approx f_x(x_0,y_0)\,\Delta x + f_y(x_0,y_0)\,\Delta y.
Aqui \Delta y=0, então apenas precisamos de f_x em (1,1,2).

Passo 3

Calcular f_x(x,y) passo a passo (aplicando regra da cadeia e derivada de logaritmo).
Escrevendo f como composição, seja u(x,y)=\ln(xy) e f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. Então, pela regra da cadeia,
f_x=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Calcula-se cada parte:
\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
E, usando \ln(xy)=\ln x+\ln y,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{\partial}{\partial x}\ln x= \frac{1}{x}.
Multiplicando,
f_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{\ln(xy)}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x\sqrt{\ln(xy)}}.
(Para referência, a derivada parcial em relação a y seria f_y=\dfrac{1}{2y\sqrt{\ln(xy)}}, mas não a usaremos porque \Delta y=0.)

Passo 4

Avaliar f_x no ponto (1,1,2) e calcular \Delta f.
Primeiro calculemos \ln(xy) no ponto:
\ln(1\cdot 1,2)=\ln(1,2).
Valor numérico aproximado (tabela ou cálculo): \ln(1,2)\approx 0,1823215568.
Agora a raiz:
\sqrt{\ln(1,2)}\approx \sqrt{0,1823215568}\approx 0,42678.
Substituindo em f_x:
f_x(1,1,2)=\frac{1}{2\cdot 1\cdot \sqrt{\ln(1,2)}}=\frac{1}{2\sqrt{\ln(1,2)}}\approx\frac{1}{2\cdot 0,42678}\approx\frac{1}{0,85356}\approx 1,17160.
Como \Delta y=0, a aproximação pelo diferencial dá
\Delta f \approx f_x(1,1,2)\,\Delta x \approx 1,17160\cdot 0,016 \approx 0,0187456.
Arredondando com sentido prático (duas ou três casas significativas), obtemos \Delta f\approx 0,01875.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova: a variação é positiva porque aumentar x aumenta xy, aumenta \ln(xy) e, portanto, aumenta a raiz. Em prova, basta calcular f_x no ponto inicial, multiplicar por \Delta x (quando \Delta y=0) e apresentar o valor aproximado; lembre-se de justificar o uso da aproximação linear quando a variação é pequena.

Resposta

\Delta f\approx 0,01875

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