Calcule a variação aproximada das funções:
entre os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a variação aproximada da função
entre os pontos
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - Logo,
e .
O que é pedido explicitamente: calcular aproximadamente
usando uma aproximação adequada para variações pequenas.
Passo 2
Método escolhido: aproximação pelo diferencial total (linearização). Justificativa curta e didática: quando as mudanças
são pequenas, a variação de
pode ser aproximada pela soma das contribuições lineares das variações nas coordenadas. A fórmula do diferencial total é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Na prática, para pequenas
usamos
Aqui
, então apenas precisamos de
em
.
Passo 3
Calcular
passo a passo (aplicando regra da cadeia e derivada de logaritmo).
Escrevendo
como composição, seja
e
. Então, pela regra da cadeia,
Calcula-se cada parte:
E, usando
,
Multiplicando,
(Para referência, a derivada parcial em relação a
seria
, mas não a usaremos porque
.)
Passo 4
Avaliar
no ponto
e calcular
.
Primeiro calculemos
no ponto:
Valor numérico aproximado (tabela ou cálculo):
.
Agora a raiz:
Substituindo em
:
Como
, a aproximação pelo diferencial dá
Arredondando com sentido prático (duas ou três casas significativas), obtemos
.
Passo 5
Interpretação rápida e dica de prova: a variação é positiva porque aumentar
aumenta
, aumenta
e, portanto, aumenta a raiz. Em prova, basta calcular
no ponto inicial, multiplicar por
(quando
) e apresentar o valor aproximado; lembre-se de justificar o uso da aproximação linear quando a variação é pequena.