No centro de um cubo de aresta
existe uma carga
. Determine: (
) o fluxo elétrico total através da superficie do cubo, (b) o fluxo elêtrico através de uma das faces do cubo.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: um cubo de aresta
. - Dado: no centro do cubo existe uma carga elétrica puntiforme de valor
. - Pedido (a): determinar o fluxo elétrico total através da superfície fechada do cubo.
- Pedido (b): determinar o fluxo elétrico através de uma única face do cubo (uma das seis faces).
Passo 2
O que é fluxo elétrico e como se escreve matematicamente:
- Fluxo elétrico através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico atravessam essa superfície.
- A definição matemática do fluxo elétrico total através de uma superfície fechada
é
onde
é o campo elétrico e
é o vetor de área elemental (módulo igual à área do elemento, direção normal externa à superfície). Aqui
é a quantidade que queremos calcular para o cubo.
Passo 3
Uma ferramenta muito útil (enunciada sem detalhar provas formais) relaciona o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada com a carga elétrica que ela contém:
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada e
é a permissividade do vácuo (
é uma constante:
). Esta relação vale independentemente da forma da superfície; o que importa é apenas a carga encerrada.
Passo 4
Aplicando a relação acima ao nosso caso:
- A superfície fechada
é a superfície do cubo. - A carga encerrada é
(a carga no centro).
Portanto o fluxo elétrico total através da superfície do cubo é
Observação prática: não é necessário calcular
ponto a ponto na superfície do cubo (o que seria trabalhoso), porque a relação anterior dá o resultado direto.
Passo 5
Agora vamos ao fluxo através de uma única face. Raciocínio por simetria:
- O cubo tem seis faces idênticas em relação ao centro: existem rotações (por exemplo 90^\circ em torno de eixos passando pelo centro) que trocam as faces entre si e deixam a posição da carga invariável (porque a carga está no centro).
- Como a configuração física (carga no centro) é invariante sob essas rotações, não há motivo físico para que alguma face receba mais fluxo que outra — todas as faces são equivalentes.
- Logo o fluxo total
se distribui igualmente entre as seis faces do cubo.
Portanto o fluxo através de uma face é
Resposta
(a)
(b)
(b)