No centro de um cubo de aresta b existe uma carga Q. Determine: ( a ) o fluxo elétrico total através da superficie do cubo, (b) o fluxo elêtrico através de uma das faces do cubo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: um cubo de aresta b.
  • Dado: no centro do cubo existe uma carga elétrica puntiforme de valor Q.
  • Pedido (a): determinar o fluxo elétrico total através da superfície fechada do cubo.
  • Pedido (b): determinar o fluxo elétrico através de uma única face do cubo (uma das seis faces).

Passo 2

O que é fluxo elétrico e como se escreve matematicamente:
  • Fluxo elétrico através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico atravessam essa superfície.
  • A definição matemática do fluxo elétrico total através de uma superfície fechada S é
\Phi = \oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico e d\mathbf{A} é o vetor de área elemental (módulo igual à área do elemento, direção normal externa à superfície). Aqui \Phi é a quantidade que queremos calcular para o cubo.

Passo 3

Uma ferramenta muito útil (enunciada sem detalhar provas formais) relaciona o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada com a carga elétrica que ela contém:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0 é uma constante: \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}). Esta relação vale independentemente da forma da superfície; o que importa é apenas a carga encerrada.

Passo 4

Aplicando a relação acima ao nosso caso:
  • A superfície fechada S é a superfície do cubo.
  • A carga encerrada é Q_{\text{int}}=Q (a carga no centro).
    Portanto o fluxo elétrico total através da superfície do cubo é
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Observação prática: não é necessário calcular \mathbf{E} ponto a ponto na superfície do cubo (o que seria trabalhoso), porque a relação anterior dá o resultado direto.

Passo 5

Agora vamos ao fluxo através de uma única face. Raciocínio por simetria:
  • O cubo tem seis faces idênticas em relação ao centro: existem rotações (por exemplo 90^\circ em torno de eixos passando pelo centro) que trocam as faces entre si e deixam a posição da carga invariável (porque a carga está no centro).
  • Como a configuração física (carga no centro) é invariante sob essas rotações, não há motivo físico para que alguma face receba mais fluxo que outra — todas as faces são equivalentes.
  • Logo o fluxo total \Phi_{\text{total}} se distribui igualmente entre as seis faces do cubo.
Portanto o fluxo através de uma face é
\Phi_{\text{face}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{6}=\frac{1}{6}\cdot\frac{Q}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{6\varepsilon_0}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{Q}{\varepsilon_0}
(b) \displaystyle \frac{Q}{6\varepsilon_0}

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