Calcule a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais de V=M2(K)
A=(ai j) in V / a11=a22=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de V=M2(K) formado pelas matrizes A=(aij) tais que a11=0 e a22=0. O conteúdo usado é o de dimensão de subespaços e contagem de graus de liberdade (entradas livres) numa matriz.

Passo 2

Uma matriz genérica em M2(K) é
A = a11 & a12[6pt] a21 & a22
Impondo a11=0 e a22=0, o elemento fica
A = 0 & a12[6pt] a21 & 0 ,
logo restam apenas a12 e a21 como entradas livres.]

Passo 3

Escrevendo em forma de combinação linear,
A = a12 0 & 1[3pt] 0 & 0 ; + ; a21 0 & 0[3pt] 1 & 0
Os dois matrizes
E12 = 0 & 10 & 0, E21 = 0 & 01 & 0
formam um sistema gerador e são linearmente independentes.]

Passo 4

Como temos exatamente duas entradas livres ( a12 e a21) e um conjunto de base com dois vetores ( E12,E21), a dimensão do subespaço é igual ao número de vetores da base.

Resposta

dim = 2

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