2 Seja <,> : R^2 R,lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1+x1 y2+x2 y1+x2 y2. Verifique se <,> define um produto interno sobre R^2.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
lang<= (x1,x2),,(y1,y2)rang<= = x1y1+x1y2+x2y1+x2y2
em R^2. Para ser produto interno, essa forma bilinear deve satisfazer:
  1. simetria,
  2. bilinearidade em cada argumento,
  3. positividade definida: lang<= x,xrang<=>0 para todo xneq0.

Passo 2

Verificamos a simetria. Trocando (x1,x2) por (y1,y2) e vice-versa, cada termo xi yj aparece também como yj xi. Logo
lang<= (x1,x2),,(y1,y2)rang<= =lang<= (y1,y2),,(x1,x2)rang<=,
ou seja, é simétrica.

Passo 3

Verificamos a bilinearidade. Para qualquer escalares a,b e vetores u,v,winR^2, temos
lang<= a,u + b,v,,wrang<= = a,lang<= u,wrang<= + b,lang<= v,wrang<=
e, pela mesma razão (simetria),
lang<= w,,a,u + b,vrang<= = a,lang<= w,urang<= + b,lang<= w,vrang<=
Portanto é bilinear em cada argumento.

Passo 4

Checamos a positividade definida. Para x=(x1,x2) temos
lang<= x,xrang<= = x1^2+2x1x2+x2^2 =(x1+x2)^2>=0
Mas se x1+x2=0 com xneq(0,0), então lang<= x,xrang<==0 mesmo para xneq0. Por exemplo, em x=(1,-1) fica lang<= x,xrang<==0. Isso viola a condição de positividade estrita.

Resposta

Não, pois embora seja simétrica e bilinear, não é definida positiva (existe xneq0 tal que lang<= x,xrang<==0).

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