2 Seja
:
. Verifique se
define um produto interno sobre
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
em
. Para ser produto interno, essa forma bilinear deve satisfazer:
- simetria,
- bilinearidade em cada argumento,
- positividade definida:
para todo .
Passo 2
Verificamos a simetria. Trocando
por
e vice-versa, cada termo
aparece também como
. Logo
ou seja, é simétrica.
Passo 3
Verificamos a bilinearidade. Para qualquer escalares
e vetores
, temos
e, pela mesma razão (simetria),
Portanto é bilinear em cada argumento.
Passo 4
Checamos a positividade definida. Para
temos
Mas se
com
, então
mesmo para
. Por exemplo, em
fica
. Isso viola a condição de positividade estrita.
Resposta
Não, pois embora seja simétrica e bilinear, não é definida positiva (existe
tal que
).