7 Seja A=(rrrr1 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 -2 & -2 & 2 & 1 1 & 1 & -1 & 0). Verifique que o polinômio característico de A é PA(x)=x^2(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 -2 & -2 & 2 & 1 1 & 1 & -1 & 0
e pede para verificar que o polinômio característico é
PA(x)=detl(xI - Ar)=x^2(x-1)^2
Vamos usar a propriedade de determinante de matriz em bloco triangular.

Passo 2

Formamos
xI - A = x-1 & -1 & 0 & 0 1 & x+1 & 0 & 0 2 & 2 & x-2 & -1 -1 & -1 & 1 & x
Note que esse é um bloco triangular da forma
M11 & 0 M21 & M22 ,
onde
M11=x-1 & -11 & x+1, M22=x-2 & -11 & x

Passo 3

Como em bloco triangular temos
det(xI - A)=det(M11);det(M22),
vamos calcular cada determinante 2times 2.

Passo 4

Calculando
det(M11) =(x-1)(x+1)-(-1)cdot1 =x^2-1+1 =x^2,
e
det(M22) =(x-2),x-(-1)cdot1 =x^2-2x+1 =(x-1)^2
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PA(x)=det(xI-A)=x^2,(x-1)^2

Resposta

PA(x)=x^2(x-1)^2

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