Calcule a distância percorrida por uma partícula que se desloca, entre os instantes t=0 e t=4, de acordo com as equações x(t)=1+2 cos (3 t^52) e y(t)=5-2 sin (3 t^52).

Passo 1

O enunciado pede a distância percorrida por uma partícula, entre t=0 e t=4, cujas coordenadas satisfazem
x(t)=1+2cosl(3t^5/2r),
y(t)=5-2sinl(3t^5/2r)
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar calcular dxdt, dydt e depois integrar a velocidade
s=integral0^4raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 2

Calcular as derivadas:
dxdt =-2sinl(3t^5/2r)cdotddtl(3t^5/2r) =-2sinl(3t^5/2r)cdot152t^3/2 =-15,t^3/2sinl(3t^5/2r),
dydt =-2cosl(3t^5/2r)cdotddtl(3t^5/2r) =-2cosl(3t^5/2r)cdot152t^3/2 =-15,t^3/2cosl(3t^5/2r)

Passo 3

Montar a velocidade:
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =225,t^3l[sin^2!(3t^5/2)+cos^2!(3t^5/2)r] =225,t^3,
portanto
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =15,t^3/2
Logo o comprimento de arco é
s=integral0^415,t^3/2,dt

Passo 4

Calcular a integral:
integral15,t^3/2,dt =15cdott^5/25/2 =6,t^5/2,
avaliando de 0 a 4:
s=6l(4^5/2-0r) =6cdot4^5/2 =6cdot32 =192

Resposta

A distância percorrida é 192.

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