Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(y,-x, z) sobre a superfície cônica S dada por z=raizx^2+y^2, 0 <= z <= 2, orientada para cima.
Escolha uma opção:
a. 2 pi3
b. Nenhuma das Respostas
c. 2
d. 4 pi3
e. raiz2-14

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial F(x, y, z) = (y, -x, z) sobre uma superfície cônica S definida por z = raizx^2 + y^2 para 0 <= z <= 2, com orientação para cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S é dado pela integral de superfície:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS
Aqui, n é o vetor normal à superfície S, que determina a orientação.

Passo 3

Como temos uma superfície cônica, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície. Em coordenadas cilíndricas, x = r cos theta, y = r sin theta, e z = r (já que z = raizx^2 + y^2 = r).

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície S usando r e theta:
r(r, theta) = (r cos theta, r sin theta, r)
onde 0 <= r <= 2 e 0 <= theta < 2pi.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície:
rr = partial rpartial r = (cos theta, sin theta, 1)
rtheta = partial rpartial theta = (-r sin theta, r cos theta, 0)

Passo 6

O vetor normal n é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rr times rtheta
Calculando:
n = i & j & k cos theta & sin theta & 1 - r sin theta & r cos theta & 0 = (- r cos theta, - r sin theta, r)

Passo 7

Como a orientação é para cima, devemos garantir que o componente z de n seja positivo, o que já está satisfeito ( r > 0).

Passo 8

Agora, substituímos o vetor normal e o campo vetorial na integral de fluxo:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS
Primeiro, expressamos F em coordenadas cilíndricas:
F(r, theta) = (r sin theta, -r cos theta, r)

Passo 9

Calculamos o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (r sin theta)(- r cos theta) + (-r cos theta)(- r sin theta) + (r)(r) = - r^2 sin theta cos theta + r^2 sin theta cos theta + r^2 = r^2

Passo 10

Agora, a integral de fluxo fica:
Fluxo = integral duplaS r^2 , dS
Em coordenadas cilíndricas, dS = |n| , dr , dtheta. Calculando a norma de n:
|n| = raiz(- r cos theta)^2 + (- r sin theta)^2 + r^2 = raizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta + r^2 = raiz2 r^2 = r raiz2

Passo 11

Então, a integral de fluxo se torna:
Fluxo = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r raiz2 , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 12

Integrando em relação a r:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4

Passo 13

Agora, integrando em relação a theta:
Fluxo = raiz2 cdot 4 cdot integral0^2pi dtheta = 4 raiz2 cdot 2pi = 8 pi raiz2

Passo 14

No entanto, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar o passo 9.
F cdot n = (- r^2 sin theta cos theta) + (r^2 sin theta cos theta) + r^2 = r^2
Mas na integral de fluxo, dS = |n| dr dtheta = r raiz2 dr dtheta, então:
Fluxo = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r raiz2 , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta = raiz2 cdot 4 cdot 2pi = 8 pi raiz2
No entanto, isso não coincide com as opções fornecidas. Isso indica que talvez devêssemos usar o Teorema de Gauss (Divergência) para simplificar.

Passo 15

Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Primeiro, calculamos a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(y) + partialpartial y(-x) + partialpartial z(z) = 0 + 0 + 1 = 1
Então, o fluxo é igual ao volume V.

Passo 16

O volume V está limitado pela superfície cônica z = raizx^2 + y^2 e pelo plano z = 2. Em coordenadas cilíndricas:
V = integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 17

Integrando em relação a z:
integralr^2 dz = 2 - r
Então,
V = integral0^2pi integral0^2 (2 - r) r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 (2r - r^2) , dr , dtheta

Passo 18

Integrando em relação a r:
integral0^2 (2r - r^2) , dr = [ r^2 - r^33 ]0^2 = (4 - 83) - 0 = 43

Passo 19

Agora, integrando em relação a theta:
V = integral0^2pi 43 , dtheta = 43 cdot 2pi = 8pi3

Passo 20

Portanto, o fluxo do campo vetorial F sobre a superfície S é:
Fluxo = 8pi3

Resposta

A resposta correta não está listada nas opções fornecidas. Portanto, a opção é:
b. Nenhuma das Respostas

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