Calcule o fluxo do campo vetorial sobre a superfície cônica dada por , orientada para cima.
Escolha uma opção:
a.
b. Nenhuma das Respostas
c. 2
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície cônica definida por para , com orientação para cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície , que determina a orientação.
Passo 3
Como temos uma superfície cônica, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície. Em coordenadas cilíndricas, , , e (já que ).
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando e :
onde e .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície:
Passo 6
O vetor normal é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando:
Passo 7
Como a orientação é para cima, devemos garantir que o componente z de n seja positivo, o que já está satisfeito (r > 0).
Passo 8
Agora, substituímos o vetor normal e o campo vetorial na integral de fluxo:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS
Primeiro, expressamos F em coordenadas cilíndricas:
F(r, theta) = (r sin theta, -r cos theta, r)
Passo 9
Calculamos o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (r sin theta)(- r cos theta) + (-r cos theta)(- r sin theta) + (r)(r) = - r^2 sin theta cos theta + r^2 sin theta cos theta + r^2 = r^2
Passo 10
Agora, a integral de fluxo fica:
Fluxo = integral duplaS r^2 , dS
Em coordenadas cilíndricas, dS = |n| , dr , dtheta. Calculando a norma de n:
|n| = raiz(- r cos theta)^2 + (- r sin theta)^2 + r^2 = raizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta + r^2 = raiz2 r^2 = r raiz2
Passo 11
Então, a integral de fluxo se torna:
Fluxo = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r raiz2 , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta