Considere a região R delimitada simultaneamente pelas curvas y=x^3 e x=y^3.
Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar a região R, limitada pelas curvas
y = x^3
e
x = y^3,
em torno da reta y=1. O conteúdo necessário é o cálculo de volume por métodos de sólidos de revolução: cascas cilíndricas (integração em y) e método dos discos/anéis (integração em x).

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção de
y = x^3 e x = y^3
Da primeira obtemos x = y^1/3. Substituindo em x = y^3
y^1/3 = y^3 ;Longrightarrow; y(y^8 - 1)=0 ;Longrightarrow; y = 0,pm1
Logo x=0,pm1. A região R está contida entre y=-1 e y=1, ou equivalentemente entre x=-1 e x=1.

Passo 3

Método das cascas cilíndricas (integração em y). Cada casca, a uma altura y, tem:
– raio até a reta y=1: r(y)=1-y,
– altura em x: xrm right-xrm <=ft=y^1/3-y^3.
A espessura é ,dy. Assim
V =2piintegraly=-1^1(1-y)l(y^1/3-y^3r),dy

Passo 4

Método dos discos/anéis (integração em x). Para cada x temos dois casos:
  • em -1<= x<=0, a curva inferior é y=x^1/3 e a superior é y=x^3,
  • em 0<= x<=1, a curva inferior é y=x^3 e a superior é y=x^1/3.
    A reta y=1 gera, em cada fatia, um anel de raios
R(x)=1 - miny, r(x)=1 - maxy
Assim
V =piintegral-1^0l[(1 - x^1/3)^2 - (1 - x^3)^2r],dx +piintegral0^1l[(1 - x^3)^2 - (1 - x^1/3)^2r],dx

Resposta

V =2piintegral-1^1(1-y)l(y^1/3-y^3r),dy
ou
V =piintegral-1^0l[(1 - x^1/3)^2 - (1 - x^3)^2r],dx +piintegral0^1l[(1 - x^3)^2 - (1 - x^1/3)^2r],dx

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