Calcule a distância entre os planos π_{1} e π_{2} : π_{1}: x+y+z=\frac{5}{2} \quad π_{2}:(x, y, z)=(2,0,0)+α(-1,0,1)+β(-1,1,0)
Passo 1
O enunciado pede a distância entre os planos \pi_{1}:x+y+z=\tfrac{5}{2}
e \pi_{2} dado parametricamente por
(x,y,z)=(2,0,0)+\alpha(-1,0,1)+\beta(-1,1,0).
Para resolver, vamos encontrar o vetor normal de cada plano, verificar que eles são paralelos e então usar a fórmula da distância entre planos paralelos.
Passo 2
O plano \pi_{1} está em forma cartesiana, logo seu vetor normal é
\mathbf{n}_{1}=(1,1,1).
Passo 3
No plano \pi_{2}, os vetores diretores são \mathbf{v}_{1}=(-1,0,1) e \mathbf{v}_{2}=(-1,1,0).
O vetor normal a \pi_{2} é
Note que \mathbf{n}_{2}=(-1,-1,-1)=-\mathbf{n}_{1}, portanto \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos. Para usar a fórmula da distância, precisamos da forma \pi_{2}:x+y+z=d_{2}.
Como \mathbf{n}_{2}\cdot(x,y,z)=-2 no ponto (2,0,0), temos
-x-y-z=-2
ou equivalentemente
x+y+z=2,
logo d_{2}=2. No caso de \pi_{1}, d_{1}=\tfrac{5}{2}.
Passo 5
A distância entre dois planos paralelos \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=d_{1} e \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=d_{2}
é
d=\frac{|d_{1}-d_{2}|}{\|\mathbf{n}\|}.
Aqui \|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3} e |d_{1}-d_{2}|=\bigl|\tfrac{5}{2}-2\bigr|=\tfrac{1}{2}.
Portanto