Dados os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,1,0), \overrightarrow{v_{2}}=(-2,-1,1), \overrightarrow{v_{3}}=(3,0,-1) e \vec{u}=(1,1,2) :
(a) Verifique que os vetores \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}} não são coplanares (ou seja, são L.I);
(b) Escreva \vec{u} como combinação linear de \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}}, ou seja, encontre números reais x, y e z tais que \vec{u}=x \overrightarrow{v_{1}}+y \overrightarrow{v_{2}}+z \overrightarrow{v_{3}}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3,
\overrightarrow{v_{1}}=(1,1,0), \overrightarrow{v_{2}}=(-2,-1,1), \overrightarrow{v_{3}}=(3,0,-1),
e um vetor \vec{u}=(1,1,2).
Em (a) queremos mostrar que \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} são linearmente independentes (não coplanares).
Em (b) precisamos encontrar escalares x,y,z tais que
\vec{u}=x\,\overrightarrow{v_{1}}+y\,\overrightarrow{v_{2}}+z\,\overrightarrow{v_{3}}.

Passo 2

Para checar independência em \mathbb{R}^3 podemos montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Se for diferente de zero, os vetores são LI.
A matriz cujas colunas são \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} é
M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculando \det(M):
\det(M) =1\cdot\bigl((-1)\cdot(-1)-0\cdot1\bigr) -(-2)\cdot\bigl(1\cdot(-1)-0\cdot0\bigr) +3\cdot\bigl(1\cdot1-(-1)\cdot0\bigr) =1\cdot1+2\cdot(-1)+3\cdot1 =1-2+3=2.

Passo 3

Como \det(M)=2\neq0, concluímos que \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} são linearmente independentes, ou seja, não são coplanares.

Passo 4

Para escrever \vec{u} como combinação linear, montamos o sistema
x\,(1,1,0)+y\,(-2,-1,1)+z\,(3,0,-1)=(1,1,2),
cujo desdobramento por componentes é
\begin{cases} x - 2y + 3z = 1,\\\ x - y = 1,\\\ \;y - z = 2. \end{cases}

Passo 5

Da segunda equação vem
x - y = 1\quad\Longrightarrow\quad x=1+y.
Da terceira equação vem
y - z = 2\quad\Longrightarrow\quad z=y-2.
Substituindo em x - 2y + 3z = 1:
(1+y)-2y+3(y-2)=1 \;\Longrightarrow\; 1+y-2y+3y-6=1 \;\Longrightarrow\; 2y-5=1 \;\Longrightarrow\; y=3.
Logo
x=1+y=4, \quad z=y-2=1.

Resposta

(a) \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} são linearmente independentes, pois \det(M)=2\neq0.
(b) \displaystyle \vec{u}=4\,\overrightarrow{v_{1}}+3\,\overrightarrow{v_{2}}+1\,\overrightarrow{v_{3}}.

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