Dados os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,1,0), \overrightarrow{v_{2}}=(-2,-1,1), \overrightarrow{v_{3}}=(3,0,-1) e \vec{u}=(1,1,2) :
(a) Verifique que os vetores \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}} não são coplanares (ou seja, são L.I);
(b) Escreva \vec{u} como combinação linear de \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}}, ou seja, encontre números reais x, y e z tais que \vec{u}=x \overrightarrow{v_{1}}+y \overrightarrow{v_{2}}+z \overrightarrow{v_{3}}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3, \overrightarrow{v_{1}}=(1,1,0), \overrightarrow{v_{2}}=(-2,-1,1), \overrightarrow{v_{3}}=(3,0,-1),
e um vetor \vec{u}=(1,1,2).
Em (a) queremos mostrar que \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} são linearmente independentes (não coplanares).
Em (b) precisamos encontrar escalares x,y,z tais que
Para checar independência em \mathbb{R}^3 podemos montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Se for diferente de zero, os vetores são LI.
A matriz cujas colunas são \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} é
Como \det(M)=2\neq0, concluímos que \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} são linearmente independentes, ou seja, não são coplanares.
Passo 4
Para escrever \vec{u} como combinação linear, montamos o sistema
x\,(1,1,0)+y\,(-2,-1,1)+z\,(3,0,-1)=(1,1,2),
cujo desdobramento por componentes é
\begin{cases} x - 2y + 3z = 1,\\\ x - y = 1,\\\ \;y - z = 2. \end{cases}
(a) \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}} são linearmente independentes, pois \det(M)=2\neq0.
(b) \displaystyle \vec{u}=4\,\overrightarrow{v_{1}}+3\,\overrightarrow{v_{2}}+1\,\overrightarrow{v_{3}}.