Calcule a distância entre os planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: x+y+z=0 \quad π_{2}: 2 x+y+z+2=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
\pi_{1}:\;x+y+z=0
e
\pi_{2}:\;2x+y+z+2=0.
Em geometria analítica, se dois planos são paralelos, usamos a fórmula
\frac{|d_2-d_1|}{\|n\|}
com n vetor normal comum. Se não são paralelos, eles se intersectam e a distância mínima entre eles é zero.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n_{1}=(1,1,1), \quad n_{2}=(2,1,1).
Para serem paralelos, deve existir \lambda\neq0 tal que
n_{2}=\lambda\,n_{1},
isto é,
2=\lambda\cdot1,\quad1=\lambda\cdot1,\quad1=\lambda\cdot1.
Não há \lambda que satisfaça simultaneamente essas três igualdades, logo n_{1} e n_{2} não são colineares.

Passo 3

Como \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos, elas se intersectam numa reta. A menor distância entre dois planos que se interceptam é
0.

Resposta

A distância entre \pi_{1} e \pi_{2} é 0.

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