Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e w : r: x=y=z \quad s:(x, y, z)=(1,0,0)+t(1,1,0)w:(x, y, z)=(0,0,1)+t(1,0,-1)
Passo 1
O enunciado pede os pontos da reta r que estão à mesma distância das retas s e w. O conteúdo é a distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que se calcula por
\mathrm{dist}(X,\ell) =\frac{\bigl\| (X-P)\times d \bigr\|}{\|d\|},
onde P é um ponto em \ell e d seu vetor diretor. Como as normas dos vetores diretores de s e w são iguais, basta igualar os quadrados dos numeradores dos produtos vetoriais para encontrar os parâmetros de r.
Passo 2
Parametrizamos a reta r. Como r\colon x=y=z, podemos escrever
X(t) = (t,t,t),
onde t\in\mathbb{R}. Escolheremos esse X(t) para calcular as distâncias a s e w.
Passo 3
Identificamos nas retas s e w:
Para s: ponto P_s=(1,0,0) e vetor diretor d_s=(1,1,0).
Para w: ponto P_w=(0,0,1) e vetor diretor d_w=(1,0,-1).
Definimos os vetores
A = X(t)-P_s = (t-1,\;t,\;t), \quad B = X(t)-P_w = (t,\;t,\;t-1).