Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e w :
r: x=y=z \quad s:(x, y, z)=(1,0,0)+t(1,1,0) w:(x, y, z)=(0,0,1)+t(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede os pontos da reta r que estão à mesma distância das retas s e w. O conteúdo é a distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que se calcula por
\mathrm{dist}(X,\ell) =\frac{\bigl\| (X-P)\times d \bigr\|}{\|d\|},
onde P é um ponto em \ell e d seu vetor diretor. Como as normas dos vetores diretores de s e w são iguais, basta igualar os quadrados dos numeradores dos produtos vetoriais para encontrar os parâmetros de r.

Passo 2

Parametrizamos a reta r. Como r\colon x=y=z, podemos escrever
X(t) = (t,t,t),
onde t\in\mathbb{R}. Escolheremos esse X(t) para calcular as distâncias a s e w.

Passo 3

Identificamos nas retas s e w:
  • Para s: ponto P_s=(1,0,0) e vetor diretor d_s=(1,1,0).
  • Para w: ponto P_w=(0,0,1) e vetor diretor d_w=(1,0,-1).
Definimos os vetores
A = X(t)-P_s = (t-1,\;t,\;t), \quad B = X(t)-P_w = (t,\;t,\;t-1).
A condição de equidistância é
\bigl\|A\times d_s\bigr\|^2 \;=\;\bigl\|B\times d_w\bigr\|^2.

Passo 4

Calculamos A\times d_s.
A\times d_s =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ t-1 & t & t\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} =(-t)\,\mathbf{i}-(-t)\,\mathbf{j}+((t-1)-t)\,\mathbf{k} =(-t,\;t,\;-1).
Logo,
\bigl\|A\times d_s\bigr\|^2 =(-t)^2 + t^2 + (-1)^2 =2t^2 + 1.

Passo 5

Agora calculamos B\times d_w.
B\times d_w =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ t & t & t-1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} =(-t)\,\mathbf{i}-\bigl(-t-(t-1)\bigr)\,\mathbf{j}+(-t)\,\mathbf{k} =(-t,\;2t-1,\;-t).
Logo,
\bigl\|B\times d_w\bigr\|^2 =(-t)^2 + (2t-1)^2 + (-t)^2 =2t^2 + (4t^2 -4t +1) =6t^2 -4t +1.

Passo 6

Impondo a igualdade dos quadrados das normas:
2t^2 + 1 \;=\;6t^2 -4t +1 \quad\Longrightarrow\quad 0 = 4t^2 -4t \quad\Longrightarrow\quad t( t -1)=0.
Logo t=0 ou t=1.

Resposta

Os pontos de r que equidistam de s e w são
X(0) = (0,0,0) \quad\text{e}\quad X(1) = (1,1,1).

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