1. Calcule a distância do ponto D=(-2,3,0) à reta que passa por P_{0}=(1,2,5) e é paralela à reta que contém os pontos A=(3,0,1) e B=(-1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto D à reta que passa por P_{0} e é paralela à reta que contém A e B.
Dados fornecidos:
  • Ponto D = (-2,3,0).
  • Ponto P_{0} = (1,2,5) (um ponto qualquer pertencente à reta considerada).
  • Ponto A = (3,0,1).
  • Ponto B = (-1,2,1).
O que se deve calcular:
  • A distância do ponto D à reta que passa por P_{0} e tem a mesma direção da reta AB.

Passo 2

Método escolhido (e por quê). Vou usar a fórmula vetorial da distância ponto–reta em \mathbb{R}^{3}:
\text{dist} = \frac{\left\| \vec{v}\times\vec{w}\right\|}{\left\|\vec{v}\right\|},
onde:
  • \vec{v} é um vetor diretor da reta (aqui, paralelo a AB),
  • \vec{w} é o vetor que vai de um ponto da reta até o ponto dado (aqui, de P_{0} até D),
  • \times é o produto vetorial (cross product) e \|\cdot\| é a norma (magnitude) de um vetor.
Justificativa curta (didática): a magnitude \left\|\vec{v}\times\vec{w}\right\| é a área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}. Dividindo essa área pela base \|\vec{v}\| obtém-se a altura desse paralelogramo, que é exatamente a distância perpendicular do ponto à reta. Esse método é rápido e direto em coordenadas.

Passo 3

Calcular o vetor diretor \vec{v} da reta a partir de A e B. Usa-se \vec{v}=\overrightarrow{AB}=B-A.
Cálculo em componentes:
\vec{v} = B - A = (-1-3,\;2-0,\;1-1) = (-4,\;2,\;0).

Passo 4

Calcular o vetor \vec{w} que vai de um ponto da reta ( P_{0}) até o ponto D: \vec{w}=\overrightarrow{P_{0}D}=D-P_{0}.
Cálculo em componentes:
\vec{w} = D - P_{0} = (-2-1,\;3-2,\;0-5) = (-3,\;1,\;-5).

Passo 5

Apresentar a definição do produto vetorial e calcular \vec{v}\times\vec{w}.
Definição (forma prática em coordenadas): para \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) e \vec{w}=(w_{1},w_{2},w_{3}),
\vec{v}\times\vec{w} = \big(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2},\;v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3},\;v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}\big).
Aplicando aos nossos vetores \vec{v}=(-4,2,0) e \vec{w}=(-3,1,-5):
  • Componente x: v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2} = 2\cdot(-5) - 0\cdot1 = -10.
  • Componente y: v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3} = 0\cdot(-3) - (-4)\cdot(-5) = 0 - 20 = -20.
  • Componente z: v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1} = (-4)\cdot1 - 2\cdot(-3) = -4 + 6 = 2.
Logo,
\vec{v}\times\vec{w} = (-10,\,-20,\,2).

Passo 6

Calcular a norma (magnitude) de \vec{v}\times\vec{w}.
Fórmula da norma: para \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),
\|\vec{u}\| = \sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}.
Aplicando a \vec{v}\times\vec{w}=(-10,-20,2):
\left\|\vec{v}\times\vec{w}\right\| = \sqrt{(-10)^{2}+(-20)^{2}+2^{2}} = \sqrt{100+400+4} = \sqrt{504}.
Simplificando \sqrt{504}:
504 = 36\cdot14 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{504}=6\sqrt{14}.

Passo 7

Calcular a norma de \vec{v}.
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-4)^{2}+2^{2}+0^{2}} = \sqrt{16+4+0} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 8

Aplicar a fórmula da distância:
\text{dist} = \frac{\left\|\vec{v}\times\vec{w}\right\|}{\|\vec{v}\|} = \frac{6\sqrt{14}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{5}}.
Racionalizando (opcional, forma comum):
\frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{14}\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{70}}{5}.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{70}}{5}

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