Escreva a equação do plano que contém as retas :
x=2+3 t, y=1+2 t, z=1 e \frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{2}=z+1

Passo 1

O enunciado pede: escrever a equação do plano que contém as duas retas dadas. As informações fornecidas são:
  • Primeira reta (escrita parametricamente, peguei do enunciado): x=2+3t,\qquad y=1+2t,\qquad z=1.
  • Segunda reta (escrita em forma simétrica, peguei do enunciado): \frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{2}=z+1.
Pergunta explícita: encontrar a equação do plano que contém simultaneamente essas duas retas.

Passo 2

Passo inicial: extrair, de cada reta, um ponto que pertença a ela e o vetor diretor.
  • Para a primeira reta, tomar o parâmetro t. Um ponto quando t=0 é P_1=(2,1,1).O vetor diretor, dos coeficientes de t, é \vec v_1=(3,2,0).
  • Para a segunda reta, introduzo parâmetro \lambda tal que \frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{2}=z+1=\lambda.Assim x=3+3\lambda,\qquad y=1+2\lambda,\qquad z=\lambda-1.Um ponto quando \lambda=0 é P_2=(3,1,-1).O vetor diretor é \vec v_2=(3,2,1).
Resumo (peguei estes pontos e vetores a partir das equações das retas):
P_1=(2,1,1),\quad \vec v_1=(3,2,0); \qquad P_2=(3,1,-1),\quad \vec v_2=(3,2,1).

Passo 3

Verificar se as retas se interceptam (se têm algum ponto em comum). Para isso igualamos as coordenadas e tentamos resolver por t e \lambda:
2+3t=3+3\lambda,\qquad 1+2t=1+2\lambda,\qquad 1=\lambda-1.
Da segunda equação vem 2t=2\lambda\Rightarrow t=\lambda. Substituindo na primeira obtemos 2+3t=3+3t\Rightarrow 2=3, o que é absurdo. Portanto não existem t,\lambda simultâneos que satisfaçam todas as três equações: as retas não se interceptam.

Passo 4

Explicar e aplicar o teste de coplanaridade (aula rápida e prática).
  • Teoria (simples e útil): duas retas são coplanares (existirá um plano que as contenha) exatamente quando o vetor entre um ponto de uma reta e um ponto da outra reta é coplanar com os dois vetores diretores. Em vetores isso significa que o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois) é zero. Ou seja, definindo \overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1, as três direções são coplanares se, e só se,
    [\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}]=\vec v_1\cdot(\vec v_2\times\overrightarrow{P_1P_2})=0.
    Aqui [\cdot,\cdot,\cdot] é o produto misto; ele mede o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Se o volume for zero, os vetores estão no mesmo plano.
  • Aplicação (cálculos passo a passo, sem pular):
    Primeiro calculemos
    \overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1=(3-2,\;1-1,\;-1-1)=(1,0,-2).
    Agora calculemos o produto vetorial \vec v_2\times\overrightarrow{P_1P_2}. Usando a regra do determinante:
    \vec v_2\times\overrightarrow{P_1P_2}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} =\bigl(2\cdot(-2)-1\cdot 0,\;-(3\cdot(-2)-1\cdot 1),\;3\cdot 0-2\cdot 1\bigr).
    Calculando cada componente:
    \vec v_2\times\overrightarrow{P_1P_2}=(-4,\;7,\;-2).
    Agora o produto escalar com \vec v_1=(3,2,0):
    \vec v_1\cdot(\vec v_2\times\overrightarrow{P_1P_2})= (3,2,0)\cdot(-4,7,-2)=3\cdot(-4)+2\cdot 7+0\cdot(-2)=-12+14+0=2.
    Como o produto misto deu \;2\neq 0\;, os três vetores não são coplanares. Conclusão: as duas retas são não coplanares — na linguagem geométrica: são retas reversas (skew). Logo não existe nenhum plano que contenha ambas.

Passo 5

Explicação didática adicional (para que você aprenda a resolver quando as retas forem coplanares):
  • Se as retas fossem coplanares e não paralelas (isto é, se se intersectassem), o procedimento para achar a equação do plano seria:
    1. pegar um ponto da interseção (ou qualquer ponto de uma das retas) — por exemplo P_1;
    2. obter dois vetores diretores que pertencem ao plano (por exemplo \vec v_1 e \vec v_2);
    3. calcular o vetor normal ao plano por \vec n=\vec v_1\times\vec v_2;
    4. escrever a equação do plano como \vec n\cdot(\mathbf{x}-P_1)=0, isto é, expandir \vec n\cdot(x-P_{1x},y-P_{1y},z-P_{1z})=0.
  • Para ilustrar (sem que isso mude o fato que não há plano que contém as duas retas): calculando \vec n=\vec v_1\times\vec v_2 aqui obtém-se
    \vec n=(3,2,0)\times(3,2,1)=(2,-3,0).
    A equação associada ao plano hipotético que contém ambas seria
    2(x-2)-3(y-1)+0(z-1)=0\quad\Longrightarrow\quad 2x-3y-1=0.
    Testando o ponto P_2=(3,1,-1) (que pegamos da segunda reta) nessa equação dá 2\cdot3-3\cdot1-1=2\neq 0: portanto P_2 não pertence a esse plano. Isso confirma que não existe plano comum às duas retas.

Resposta

Não existe plano que contenha as duas retas, pois elas são não coplanares (skew): [\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}]=2\neq 0.

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