Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos
d) \mathrm{P}=(-2,0,1)
r:\left\{\begin{array}{l} x=3 \lambda+1 \\\ y=2 \lambda-2 \\\ z=\lambda \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância do ponto \mathrm{P}=(-2,0,1)\) até a reta \(r\) em \(\mathbb{R}^3\), dada em forma paramétrica \[r:\quad \begin{cases} x=3\lambda+1,\\\ y=2\lambda-2,\\\ z=\lambda. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3\] via produto vetorial: \[d = \frac{\bigl\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\bigr\|}{\|\mathbf{v}\|},\] onde \(A é um ponto qualquer da reta e \mathbf{v} é o vetor direcional de r.

Passo 2

Escolhemos \lambda=0 para obter um ponto A na reta. Assim,
A = (1,\,-2,\,0),
e o vetor diretor de r é
\mathbf{v} = (3,\,2,\,1).

Passo 3

Formamos o vetor \overrightarrow{AP} que vai de A até P:
\overrightarrow{AP} = P - A = (-2-1,\;0-(-2),\;1-0) = (-3,\,2,\,1).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -3 & 2 & 1\\\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (0,\,6,\,-12).
A norma desse vetor é
\bigl\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\bigr\| =\sqrt{0^2 + 6^2 + (-12)^2} =\sqrt{36+144} =\sqrt{180} =6\sqrt{5}.

Passo 5

A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{3^2+2^2+1^2} =\sqrt{9+4+1} =\sqrt{14}.
Substituindo na fórmula da distância, obtemos
d =\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{14}} =\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{14}}\cdot\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} =\frac{6\sqrt{70}}{14} =\frac{3\sqrt{70}}{7}.

Resposta

\boxed{d = \frac{3\sqrt{70}}{7}.}

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