Dar a área do triángulo ABC , nos seguintes casos:
c) \mathrm{A}=(2,2,0), \quad \mathrm{B}=(0,2,1), \quad \mathrm{C}=(2,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC em \mathbb{R}^3, cujos vértices são \mathrm{A}=(2,2,0), \mathrm{B}=(0,2,1) e \mathrm{C}=(2,0,1). Para encontrar essa área, vamos usar a fórmula que diz que a área é metade da norma do produto vetorial entre dois lados do triângulo.

Passo 2

Formamos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-2,\;2-2,\;1-0) = (-2,0,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-2,\;0-2,\;1-0) = (0,-2,1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Usando a regra de Sarrus:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (0\cdot1 - 1\cdot(-2))\,\mathbf{i} -(-2\cdot1 - 1\cdot0)\,\mathbf{j} +(-2\cdot(-2) - 0\cdot0)\,\mathbf{k} = (2,2,4).

Passo 4

A norma desse vetor é
\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa norma:
\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \frac{1}{2}\cdot2\sqrt{6} = \sqrt{6}.Á

Resposta

\sqrt{6}

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