Calcule a distância entre o ponto A=(3,4,0) e a reta que contém B=(5,0,-2) e C=(0,-3,6). resp.: 2 \sqrt{11 / 2}

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(3,4,0), B=(5,0,-2) e C=(0,-3,6).
Pede-se a distância entre o ponto A e a reta que contém B e C.
Informações relevantes: as coordenadas de A, B e C (já acima).

Passo 2

Ideia matemática que usaremos (a explico em detalhes nos próximos passos): a distância de um ponto A a uma reta que passa por B com direção dada por C-B pode ser obtida como a “altura” de um paralelogramo formado pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CB}. Uma fórmula direta é
\text{dist}(A,\text{reta})=\frac{\|\,(A-B)\times (C-B)\,\|}{\|C-B\|}.
Aqui \times é o produto vetorial e \|\cdot\| indica norma (módulo) do vetor. Nos próximos passos eu ensino o porquê dessa fórmula e aplico ao caso.

Passo 3

Explicação didática do porquê da fórmula:
  • Seja \vec{u}=A-B e \vec{v}=C-B. O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}.
  • A magnitude \|\vec{u}\times\vec{v}\| é igual à área do paralelogramo construído sobre \vec{u} e \vec{v}. Ou seja,
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Isso vem da definição geométrica do produto vetorial.
  • A altura (distância do ponto A à reta de direção \vec{v} passando por B) é justamente a altura do paralelogramo com base \vec{v}. Como área = base \times altura, temos
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta = \|\vec{v}\|\cdot(\text{altura}).
Isolando a altura obtemos
\text{altura}=\frac{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|},
que é a fórmula usada para a distância.

Passo 4

Calculemos os vetores \vec{u}=A-B e \vec{v}=C-B a partir das coordenadas dadas:
\vec{u}=A-B=(3-5,\;4-0,\;0-(-2)) = (-2,\;4,\;2),
\vec{v}=C-B=(0-5,\;-3-0,\;6-(-2)) = (-5,\;-3,\;8).

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usamos a fórmula componente a componente:
\vec{u}\times\vec{v} = (u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1).
Com \vec{u}=(-2,4,2) e \vec{v}=(-5,-3,8) obtemos:
\vec{u}\times\vec{v} = (4\cdot 8 - 2\cdot(-3),\; 2\cdot(-5) - (-2)\cdot 8,\; (-2)\cdot(-3) - 4\cdot(-5)).
Calcule passo a passo cada componente:
\text{1ª comp.} = 32 + 6 = 38,ª
\text{2ª comp.} = -10 + 16 = 6,ª
\text{3ª comp.} = 6 + 20 = 26.ª
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (38,\;6,\;26).

Passo 6

Calculamos a norma (módulo) do produto vetorial:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{38^2+6^2+26^2}.
Calculemos os quadrados:
38^2=1444,\quad 6^2=36,\quad 26^2=676.
Somando:
1444+36+676=2156.
Fatorando 2156 vemos 2156=196\cdot 11, logo
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{196\cdot 11}=14\sqrt{11}.

Passo 7

Agora a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2+8^2}=\sqrt{25+9+64}=\sqrt{98}.
E \sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}.

Passo 8

Finalmente aplicamos a fórmula da distância:
\text{dist}=\frac{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}=\frac{14\sqrt{11}}{7\sqrt{2}}=2\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{\tfrac{11}{2}}.
Opcionalmente simplificando: 2\sqrt{\tfrac{11}{2}}=\sqrt{22}.

Resposta

2 \sqrt{11 / 2}

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