Determine os cossenos diretores de \vec{p}=\vec{a} \times \vec{b} em que \vec{a}=(5,0,0) e \vec{b}=(0,0,-2). resp.: \cos \alpha=0, \cos \beta=1 e \cos \gamma=0

Passo 1

O enunciado dá as duas informações seguintes:
\vec{a}=(5,0,0) e \vec{b}=(0,0,-2).
Pede: determinar os cossenos diretores de \vec{p}=\vec{a}\times\vec{b}, isto é, \cos\alpha, \cos\beta e \cos\gamma, onde:
\alpha é o ângulo entre \vec{p} e o eixo x,
\beta é o ângulo entre \vec{p} e o eixo y,
\gamma é o ângulo entre \vec{p} e o eixo z.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que é o produto vetorial e como calcular suas componentes. Para dois vetores
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem componentes dadas por
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Explicando: cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores — é uma fórmula fixa que você deve decorar e aplicar sem erro na prova.

Passo 3

Agora identificamos as componentes de \vec{a} e \vec{b}:
\;a_1=5,\;a_2=0,\;a_3=0.
\;b_1=0,\;b_2=0,\;b_3=-2.

Passo 4

Aplicando a fórmula componente a componente:
Primeira componente (eixo x):
p_x = a_2b_3 - a_3b_2 = 0\cdot(-2) - 0\cdot0 = 0.
Segunda componente (eixo y):
p_y = a_3b_1 - a_1b_3 = 0\cdot0 - 5\cdot(-2) = 0 - (-10) = 10.
Terceira componente (eixo z):
p_z = a_1b_2 - a_2b_1 = 5\cdot0 - 0\cdot0 = 0.
Logo
\vec{p}=\vec{a}\times\vec{b}=(0,10,0).

Passo 5

Interpretação rápida: \vec{p} aponta exatamente na direção positiva do eixo y. Isso já dá pista que \cos\beta será 1 e os outros dois cossenos serão 0, mas vamos calcular formalmente.

Passo 6

Para obter os cossenos diretores usamos a definição: se \vec{p}=(p_x,p_y,p_z) e \|\vec{p}\| é o módulo (norma) de \vec{p}, então
\cos\alpha=\frac{p_x}{\|\vec{p}\|},\qquad \cos\beta=\frac{p_y}{\|\vec{p}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{p_z}{\|\vec{p}\|}.
Aqui \|\vec{p}\|=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}. Essa fórmula vem da definição de cosseno do ângulo entre vetores: \cos\theta=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{e}}{\|\vec{p}\|\|\vec{e}\|} e para os eixos unitários \|\vec{e}\|=1.

Passo 7

Calculamos o módulo de \vec{p}:
\|\vec{p}\|=\sqrt{0^2+10^2+0^2}=\sqrt{100}=10.

Passo 8

Agora os cossenos diretores:
\cos\alpha=\frac{p_x}{\|\vec{p}\|}=\frac{0}{10}=0,
\cos\beta=\frac{p_y}{\|\vec{p}\|}=\frac{10}{10}=1,
\cos\gamma=\frac{p_z}{\|\vec{p}\|}=\frac{0}{10}=0.

Resposta

\cos\alpha=0
\cos\beta=1
\cos\gamma=0

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