Determine a equação da reta e represente geometricamente a reta
que contém o ponto
e que é paralela aos vetor
. Determine os planos que projetam a reta
ortogonalmente sobre os planos coordenados. resp.:
Passo 1
O enunciado dá o ponto
e o vetor diretor
. As perguntas são:
- Determinar a equação da reta
que passa por e é paralela a . - Representar geometricamente (descrever) a reta
. - Determinar os planos que projetam a reta
ortogonalmente sobre os planos coordenados (isto é: encontrar os planos que contêm e são perpendiculares a cada um dos planos coordenados , e ).
Informações relevantes dadas:
- Ponto de passagem:
. - Vetor diretor da reta:
.
Passo 2
Vamos construir a equação paramétrica da reta a partir de um ponto e de um vetor diretor. Regra prática: uma reta que passa por um ponto
e tem vetor diretor
admite a forma vetorial
onde
é o parâmetro. Isso significa que as coordenadas satisfazem, para cada
,
Aqui,
são as coordenadas do ponto de passagem e
são as componentes do vetor diretor;
varia para percorrer toda a reta.
Aplicando ao nosso caso (
e
) obtemos a equação paramétrica
Passo 3
A partir da forma paramétrica podemos obter a forma simétrica (quando todos os componentes do vetor diretor são não nulos). Isolamos
em cada equação:
Igualando estas expressões para
obtemos a forma simétrica da reta:
Essa é a equação da reta
em forma simétrica. Observação: a segunda fração poderia ser escrita como
, mas é comum escrever apenas
quando o denominador é
.
Passo 4
Descrição geométrica (representação): a reta
é o conjunto de pontos que se obtêm ao partir do ponto
e percorrer a direção dada por
. Geometricamente isso significa:
- passa por
; - tem orientação dada por
(se eu andar unidades em , subo em e em ); - é infinita em ambas direções ao variar
.
Se desenhássemos no espaço, colocaríamos o pontoe desenharíamos uma reta passando por com a inclinação que corresponde ao vetor .
Passo 5
Agora vamos achar os planos que projetam
ortogonalmente sobre os planos coordenados. Interpretação necessária (e adotada): o plano que projeta ortogonalmente
sobre um plano coordenado
é o plano que contém
e é perpendicular a
. Raciocínio: projetar ortogonalmente uma reta sobre, por exemplo, o plano
equivale a “descer” cada ponto de
ao plano
mantendo
iguais; a linha imagem é a interseção do plano vertical que contém
com o plano
. Esse plano vertical contém
e é perpendicular ao plano
.
Para construir cada um desses planos usamos duas condições:
- O plano contém
, então contém o ponto e o vetor diretor é paralelo ao plano. - O plano é perpendicular ao plano coordenado de projeção, o que impõe uma restrição simples sobre a forma do vetor normal do plano.
Primeiro lembrete útil (produto escalar): se
é normal a um plano e
é um vetor paralelo ao plano, então
. O produto escalar é calculado como
Usaremos isso para determinar coeficientes das equações dos planos.
Passo 6
Plano que projeta
sobre o plano
. O plano
tem normal
. Um plano perpendicular a
tem normal
(ou seja, sem componente em
). Logo a equação geral desse plano pode ser escrita como
Como o plano deve conter a reta
, seu normal
tem de ser ortogonal ao vetor diretor
. Assim:
Além disso o plano deve conter o ponto
, então
Resolvendo convenientemente (podemos escolher
como parâmetro), da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Tomando
(qualquer múltiplo dá o mesmo plano) obtemos
e
. A equação do plano fica
Passo 7
Plano que projeta
sobre o plano
. O plano
tem normal
. Um plano perpendicular a
tem normal
(sem componente em
), então a equação geral é
Condição de paralelismo do vetor diretor:
, isto é
Condição de conter
:
, logo
Da primeira equação podemos escrever
. Substituindo na segunda:
Escolhendo
(para evitar frações) dá
e
. A equação do plano é
ou multiplicando por
para forma mais comum,
Passo 8
Plano que projeta
sobre o plano
. O plano
tem normal
. Um plano perpendicular a
tem normal
(sem componente em
), a equação geral é
Condicional de paralelismo:
dá
, ou seja
Condição de conter
:
, isto é
Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Escolhendo
obtemos
e
. A equação do plano é
ou multiplicando por
,