Determine a equação da reta e represente geometricamente a reta r que contém o ponto A=(1,-2,-1) e que é paralela aos vetor \vec{v}=(2,1,3). Determine os planos que projetam a reta r ortogonalmente sobre os planos coordenados. resp.: r=\left\{\frac{x-1}{2}=y+2=\frac{z+1}{3}\right\}, x-2 y-5=0,3 x-2 z-5=0,3 y-z+5=0

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(1,-2,-1) e o vetor diretor \vec{v}=(2,1,3). As perguntas são:
  1. Determinar a equação da reta r que passa por A e é paralela a \vec{v}.
  2. Representar geometricamente (descrever) a reta r.
  3. Determinar os planos que projetam a reta r ortogonalmente sobre os planos coordenados (isto é: encontrar os planos que contêm r e são perpendiculares a cada um dos planos coordenados xy, xz e yz).
Informações relevantes dadas:
  • Ponto de passagem: A=(1,-2,-1).
  • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(2,1,3).

Passo 2

Vamos construir a equação paramétrica da reta a partir de um ponto e de um vetor diretor. Regra prática: uma reta que passa por um ponto A=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) admite a forma vetorial
\vec{r}(t)=\vec{A}+t\vec{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Isso significa que as coordenadas satisfazem, para cada t,
x = x_0 + v_x t,\qquad y = y_0 + v_y t,\qquad z = z_0 + v_z t.
Aqui, x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto de passagem e v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor diretor; t varia para percorrer toda a reta.
Aplicando ao nosso caso ( A=(1,-2,-1) e \vec{v}=(2,1,3)) obtemos a equação paramétrica
x = 1 + 2t,\qquad y = -2 + t,\qquad z = -1 + 3t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

A partir da forma paramétrica podemos obter a forma simétrica (quando todos os componentes do vetor diretor são não nulos). Isolamos t em cada equação:
t=\frac{x-1}{2},\qquad t=y+2,\qquad t=\frac{z+1}{3}.
Igualando estas expressões para t obtemos a forma simétrica da reta:
\frac{x-1}{2}=y+2=\frac{z+1}{3}.
Essa é a equação da reta r em forma simétrica. Observação: a segunda fração poderia ser escrita como \frac{y+2}{1}, mas é comum escrever apenas y+2 quando o denominador é 1.

Passo 4

Descrição geométrica (representação): a reta r é o conjunto de pontos que se obtêm ao partir do ponto A=(1,-2,-1) e percorrer a direção dada por \vec{v}=(2,1,3). Geometricamente isso significa:
  • passa por A;
  • tem orientação dada por \vec{v} (se eu andar 2 unidades em x, subo 1 em y e 3 em z);
  • é infinita em ambas direções ao variar t\in\mathbb{R}.
    Se desenhássemos no espaço, colocaríamos o ponto A e desenharíamos uma reta passando por A com a inclinação que corresponde ao vetor \vec{v}.

Passo 5

Agora vamos achar os planos que projetam r ortogonalmente sobre os planos coordenados. Interpretação necessária (e adotada): o plano que projeta ortogonalmente r sobre um plano coordenado P é o plano que contém r e é perpendicular a P. Raciocínio: projetar ortogonalmente uma reta sobre, por exemplo, o plano xy equivale a “descer” cada ponto de r ao plano xy mantendo x,y iguais; a linha imagem é a interseção do plano vertical que contém r com o plano xy. Esse plano vertical contém r e é perpendicular ao plano xy.
Para construir cada um desses planos usamos duas condições:
  1. O plano contém r, então contém o ponto A e o vetor diretor \vec{v} é paralelo ao plano.
  2. O plano é perpendicular ao plano coordenado de projeção, o que impõe uma restrição simples sobre a forma do vetor normal do plano.
Primeiro lembrete útil (produto escalar): se \vec{n}=(a,b,c) é normal a um plano e \vec{v} é um vetor paralelo ao plano, então \vec{n}\cdot\vec{v}=0. O produto escalar é calculado como
\vec{n}\cdot\vec{v}=a v_x + b v_y + c v_z.
Usaremos isso para determinar coeficientes das equações dos planos.

Passo 6

Plano que projeta r sobre o plano xy. O plano xy tem normal (0,0,1). Um plano perpendicular a xy tem normal (a,b,0) (ou seja, sem componente em z). Logo a equação geral desse plano pode ser escrita como
a x + b y + d = 0.
Como o plano deve conter a reta r, seu normal (a,b,0) tem de ser ortogonal ao vetor diretor \vec{v}=(2,1,3). Assim:
\vec{n}\cdot\vec{v}=a\cdot 2 + b\cdot 1 + 0\cdot 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2a + b = 0.
Além disso o plano deve conter o ponto A=(1,-2,-1), então
a\cdot 1 + b\cdot(-2) + d = 0 \quad\Rightarrow\quad a -2b + d = 0.
Resolvendo convenientemente (podemos escolher a como parâmetro), da primeira equação temos b=-2a. Substituindo na segunda:
a -2(-2a) + d = a +4a + d = 5a + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d = -5a.
Tomando a=1 (qualquer múltiplo dá o mesmo plano) obtemos b=-2 e d=-5. A equação do plano fica
x - 2y - 5 = 0.

Passo 7

Plano que projeta r sobre o plano xz. O plano xz tem normal (0,1,0). Um plano perpendicular a xz tem normal (a,0,c) (sem componente em y), então a equação geral é
a x + c z + d = 0.
Condição de paralelismo do vetor diretor: \vec{n}\cdot\vec{v}=a\cdot 2 + 0\cdot 1 + c\cdot 3 = 0, isto é
2a + 3c = 0.
Condição de conter A: a\cdot 1 + c\cdot(-1) + d = 0, logo
a - c + d = 0.
Da primeira equação podemos escrever a = -\tfrac{3}{2}c. Substituindo na segunda:
-\tfrac{3}{2}c - c + d = -\tfrac{5}{2}c + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d = \tfrac{5}{2}c.
Escolhendo c=2 (para evitar frações) dá a=-3 e d=5. A equação do plano é
-3x + 2z + 5 = 0,
ou multiplicando por -1 para forma mais comum,
3x - 2z - 5 = 0.

Passo 8

Plano que projeta r sobre o plano yz. O plano yz tem normal (1,0,0). Um plano perpendicular a yz tem normal (0,b,c) (sem componente em x), a equação geral é
b y + c z + d = 0.
Condicional de paralelismo: \vec{n}\cdot\vec{v}=0 b\cdot 1 + c\cdot 3 = 0, ou seja
b + 3c = 0.
Condição de conter A: b\cdot(-2) + c\cdot(-1) + d = 0, isto é
-2b - c + d = 0.
Da primeira equação temos b=-3c. Substituindo na segunda:
-2(-3c) - c + d = 6c - c + d = 5c + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d = -5c.
Escolhendo c=1 obtemos b=-3 e d=-5. A equação do plano é
-3y + z -5 = 0,
ou multiplicando por -1,
3y - z + 5 = 0.

Resposta

r=\left\{\dfrac{x-1}{2}=y+2=\dfrac{z+1}{3}\right\}
x-2y-5=0
3x-2z-5=0
3y-z+5=0

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