Calcule a distancia entre o ponto (3.-1.2) e a reta r: lx=1+2 t y=-1+t z=3-t.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto (3,-1,2) à reta
r: x=1+2t,;y=-1+t,;z=3-t
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos usar a fórmula que diz
d ;=;|l(P-P0r)times v||v|,
onde P é o ponto dado, P0 é um ponto qualquer da reta e v é o vetor diretor de r.

Passo 2

Escolhemos t=0 para obter um ponto da reta:
P0=(1,-1,3)
O vetor diretor da reta vem dos coeficientes de t:
v=(2,1,-1)

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de P0 a P:
P0P = P-P0 = (3-1,,-1-(-1),,2-3) = (2,,0,,-1)

Passo 4

Fazemos o produto vetorial P0Ptimesv:
(2,0,-1)times(2,1,-1) =l(0cdot(-1)-(-1)cdot1,;(-1)cdot2-2cdot(-1),;2cdot1-0cdot2r) =(1,0,2)

Passo 5

Calculamos as normas:
|P0Ptimes v| = raiz1^2+0^2+2^2 = raiz5,
|v| = raiz2^2+1^2+(-1)^2 = raiz6

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = raiz5raiz6 = raiz56 = raiz306

Resposta

raiz306

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