9.21 Mostre, por meio de um contraexemplo, que o produto vetorial não é associativo, isto é, mostre que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto vetorial não é associativo, ou seja, encontrar vetores u,v,w tais que
utimes(vtimesw) neq (utimesv)timesw
O conteúdo usado aqui são as definições de produto vetorial em R^3 e a propriedade de não associatividade.

Passo 2

Escolhemos o contraexemplo simples:
u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (1,1,0)

Passo 3

Calculamos primeiro vtimesw. Pela definição,
vtimesw = (0,1,0)times(1,1,0) = l(v2w3 - v3w2,;v3w1 - v1w3,;v1w2 - v2w1r) = (1cdot0 - 0cdot1,;0cdot1 - 0cdot0,;0cdot1 - 1cdot1) = (0,0,-1)

Passo 4

Agora utimes(vtimesw):
utimes(0,0,-1) = (1,0,0)times(0,0,-1) = l(0cdot(-1)-0cdot0,;0cdot0-1cdot(-1),;1cdot0-0cdot0r) = (0,1,0)

Passo 5

Em seguida calculamos utimesv e depois (utimesv)timesw:
utimesv = (1,0,0)times(0,1,0) = (0,0,1),
(0,0,1)times(1,1,0) = l(0cdot0-1cdot1,;1cdot1-0cdot0,;0cdot1-0cdot1r) = (-1,1,0)

Passo 6

Comparando os resultados:
utimes(vtimesw) = (0,1,0), (utimesv)timesw = (-1,1,0)
Como (0,1,0)neq(-1,1,0), isso mostra que o produto vetorial não é associativo.

Resposta

Um contraexemplo é
u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0),
pois
utimes(vtimesw)=(0,1,0)neq(-1,1,0)=(utimesv)timesw.

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