Calcule a distância entre os pontos dados:
(a) A(3,7) e B(1,4)

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(3,7) e B(1,4) e pede para calcular a distância entre eles.
Informações relevantes: as coordenadas de A são x_A=3 e y_A=7; as coordenadas de B são x_B=1 e y_B=4.
Pergunta clara: qual é a medida da reta que liga A a B?

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): se traçarmos um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças horizontal e vertical entre os pontos, a hipotenusa desse triângulo é exatamente a distância entre A e B. Vou transformar essa ideia em fórmula e calcular passo a passo.

Passo 3

Lembrete do teorema de Pitágoras (a ferramenta principal aqui): em um triângulo retângulo com catetos de comprimentos a e b e hipotenusa de comprimento c, vale
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aqui a e b são os comprimentos dos catetos (diferenças horizontal e vertical) e c será a distância entre os pontos.

Passo 4

Definimos as diferenças de coordenadas:
\Delta x = x_A - x_B,\qquad \Delta y = y_A - y_B.
A fórmula da distância entre os pontos é então
d(A,B)=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}.
Obs.: mesmo que \Delta x ou \Delta y fiquem negativos, ao elevar ao quadrado o sinal some, então podemos simplesmente subtrair na ordem dada.

Passo 5

Calcule as diferenças para os nossos pontos:
\Delta x = 3 - 1 = 2,
\Delta y = 7 - 4 = 3.

Passo 6

Eleve ao quadrado e some:
(\Delta x)^{2} = 2^{2} = 4,
(\Delta y)^{2} = 3^{2} = 9,
(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2} = 4 + 9 = 13.

Passo 7

A distância é a raiz quadrada dessa soma:
d(A,B)=\sqrt{13}.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{13}\approx 3,606. Você pode levar a forma exata \sqrt{13} para a prova sem problemas.

Resposta

\sqrt{13}

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