A triangulação, na verdade, chama-se trilateração no contexto do GPS, e envolve a determinação da posição de um receptor usando a distância para pelo menos três satélites. Imagine três satélites (S 1, S 2, S 3) e um receptor (R). Se conhecermos as posições dos satélites e a distância de cada um até o receptor ( d 1, d 2, d 3 ), a posição do receptor ( x, y, z ) é encontrada na interseção de três esferas, uma centrada em cada satélite com o raio correspondente à distância.
Um receptor GPS na Terra recebe sinais de três satélites com as seguintes posições e distâncias:
  • Satélite 1: Coordenadas (0,0,100) e distância ao receptor =150 \mathrm{~m}.
  • Satélite 2: Coordenadas (200,0,0) e distância ao receptor =250 \mathrm{~m}.
  • Satélite 3: Coordenadas (0,200,0) e distância ao receptor =350 \mathrm{~m}.
Encontre as coordenadas ( x, y, z ) do receptor.

Passo 1

O enunciado dá as posições dos três satélites e as distâncias do receptor a cada satélite, e pede as coordenadas do receptor (x,y,z). Informações fornecidas:
\text{Satélite 1 } S1:(0,0,100),\quad d_1=150é
\text{Satélite 2 } S2:(200,0,0),\quad d_2=250é
\text{Satélite 3 } S3:(0,200,0),\quad d_3=350é
Pergunta: encontrar todas as coordenadas (x,y,z) que satisfazem essas três distâncias simultaneamente (interseção das três esferas).

Passo 2

Equacione cada esfera: a equação de uma esfera com centro (x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.
Aqui obtemos as três equações (uma para cada satélite):
\text{(1)}\quad x^2+y^2+(z-100)^2 = 150^2 = 22500,
\text{(2)}\quad (x-200)^2+y^2+z^2 = 250^2 = 62500,
\text{(3)}\quad x^2+(y-200)^2+z^2 = 350^2 = 122500.
Explico a estratégia: subtrair equações de esferas elimina os termos quadráticos x^2,y^2,z^2 deixando equações lineares em x,y,z. Isso acontece porque ao expandir e subtrair os termos quadrados, muitos cancelam — técnica padrão para encontrar o plano de interseção das esferas.

Passo 3

Subtraio (1) de (2) para eliminar y^2 e x^2 parcialmente e obter uma equação linear. Faço as expansões necessárias:
(x-200)^2 - x^2 = x^2 -400x +40000 - x^2 = -400x +40000,
z^2 - (z-100)^2 = z^2 - (z^2 -200z +10000) = 200z -10000.
Agora (2)-(1) dá:
(-400x+40000) + (200z-10000) = 62500-22500 = 40000.
Simplificando:
-400x +200z +30000 =40000 \implies -400x +200z =10000.
Dividindo por 100:
-4x +2z =100 \implies -2x + z =50.
Isolando z:
\boxed{\,z = 2x +50\,}.

Passo 4

Subtraio (1) de (3). Faço as expansões análogas:
(y-200)^2 - y^2 = -400y +40000,
z^2 - (z-100)^2 = 200z -10000.
Então (3)-(1) dá:
(-400y+40000) + (200z-10000) = 122500-22500 =100000.
Simplificando:
-400y +200z +30000 =100000 \implies -400y +200z =70000.
Dividindo por 100:
-4y +2z =700 \implies -2y + z =350.
Isolando z:
\boxed{\,z = 2y +350\,}.

Passo 5

Agora igualo as duas expressões para z:
2x +50 = 2y +350.
Rearranjando:
2x -2y =300 \implies x - y =150.
Logo
\boxed{\,x = y +150\,}.
Até aqui transformei as três equações de esfera em duas relações lineares simples que relacionam x,y,z.

Passo 6

Substituo x = y+150 e z = 2x+50 (ou z=2y+350, é equivalente) na equação (1) para obter uma equação só em y. Primeiro calcule expressões substituídas:
x^2 = (y+150)^2 = y^2 +300y +22500,
z-100 = (2y+350)-100 = 2y+250,
(z-100)^2 = (2y+250)^2 = 4y^2 +1000y +62500.
Agora somo em (1):
x^2 + y^2 + (z-100)^2 = (y^2+300y+22500) + y^2 + (4y^2+1000y+62500).
Agrupando termos:
6y^2 +1300y +85000 =22500.
Passo o 22500 para o lado esquerdo:
6y^2 +1300y +85000 -22500 =0 \implies 6y^2 +1300y +62500 =0.
Divido por 2 para simplificar:
3y^2 +650y +31250 =0.

Passo 7

Resolvo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
3y^2 +650y +31250 =0,
o discriminante é
\Delta = 650^2 - 4\cdot 3 \cdot 31250.
Calculo:
650^2 = 422500,
4\cdot 3 \cdot 31250 = 12\cdot 31250 = 375000,
\Delta = 422500 - 375000 = 47500 = 50^2\cdot 19.
Portanto \sqrt{\Delta} = 50\sqrt{19}. Aplicando a fórmula:
y = \frac{-650 \pm 50\sqrt{19}}{2\cdot 3} = \frac{-650 \pm 50\sqrt{19}}{6}.
Simplifico dividindo numerador e denominador por 2:
\boxed{\,y = \frac{-325 \pm 25\sqrt{19}}{3}\,}.

Passo 8

Agora obtenho x e z a partir de y. Lembro que x = y+150 e z = 2x +50. Assim:
x = \frac{-325 \pm 25\sqrt{19}}{3} + \frac{450}{3} = \frac{125 \pm 25\sqrt{19}}{3}.
z = 2x +50 = 2\cdot\frac{125 \pm 25\sqrt{19}}{3} + \frac{150}{3} = \frac{400 \pm 50\sqrt{19}}{3}.
Posso factorizar para ficar mais elegante:
\boxed{\,x = \frac{25(5 \pm\sqrt{19})}{3},\quad y = \frac{25(-13 \pm\sqrt{19})}{3},\quad z = \frac{50(8 \pm\sqrt{19})}{3}\,}.

Passo 9

Interpretação: há duas soluções (o conjunto de três esferas costuma intersectar em até dois pontos). Ambas são matematicamente válidas. Para visualização numérica, computo aproximações decimais:
Para o sinal +:
y \approx -72{,}00917547,\quad x \approx 77{,}99082453,\quad z \approx 205{,}98164906.
Para o sinal -:
y \approx -144{,}6574912,\quad x \approx 5{,}3425088,\quad z \approx 60{,}6850176.

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac{125+25\sqrt{19}}{3},\;\frac{-325+25\sqrt{19}}{3},\;\frac{400+50\sqrt{19}}{3}\right)
\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac{125-25\sqrt{19}}{3},\;\frac{-325-25\sqrt{19}}{3},\;\frac{400-50\sqrt{19}}{3}\right)

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