A triangulação, na verdade, chama-se trilateração no contexto do GPS, e envolve a determinação da posição de um receptor usando a distância para pelo menos três satélites. Imagine três satélites
e um receptor
. Se conhecermos as posições dos satélites e a distância de cada um até o receptor (
), a posição do receptor (
) é encontrada na interseção de três esferas, uma centrada em cada satélite com o raio correspondente à distância.
Um receptor GPS na Terra recebe sinais de três satélites com as seguintes posições e distâncias:
- Satélite 1: Coordenadas
e distância ao receptor
.
- Satélite 2: Coordenadas
e distância ao receptor
.
- Satélite 3: Coordenadas
e distância ao receptor
.
Encontre as coordenadas (
) do receptor.
Um receptor GPS na Terra recebe sinais de três satélites com as seguintes posições e distâncias:
Passo 1
O enunciado dá as posições dos três satélites e as distâncias do receptor a cada satélite, e pede as coordenadas do receptor
. Informações fornecidas:
Pergunta: encontrar todas as coordenadas
que satisfazem essas três distâncias simultaneamente (interseção das três esferas).
Passo 2
Equacione cada esfera: a equação de uma esfera com centro
e raio
é
Aqui obtemos as três equações (uma para cada satélite):
Explico a estratégia: subtrair equações de esferas elimina os termos quadráticos
deixando equações lineares em
. Isso acontece porque ao expandir e subtrair os termos quadrados, muitos cancelam — técnica padrão para encontrar o plano de interseção das esferas.
Passo 3
Subtraio (1) de (2) para eliminar
e
parcialmente e obter uma equação linear. Faço as expansões necessárias:
Agora (2)-(1) dá:
Simplificando:
Dividindo por
:
Isolando
:
Passo 4
Subtraio (1) de (3). Faço as expansões análogas:
Então (3)-(1) dá:
Simplificando:
Dividindo por
:
Isolando
:
Passo 5
Agora igualo as duas expressões para
:
Rearranjando:
Logo
Até aqui transformei as três equações de esfera em duas relações lineares simples que relacionam
.
Passo 6
Substituo
e
(ou
, é equivalente) na equação (1) para obter uma equação só em
. Primeiro calcule expressões substituídas:
Agora somo em (1):
Agrupando termos:
Passo o
para o lado esquerdo:
Divido por
para simplificar:
Passo 7
Resolvo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
o discriminante é
Calculo:
Portanto
. Aplicando a fórmula:
Simplifico dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Agora obtenho
e
a partir de
. Lembro que
e
. Assim:
Posso factorizar para ficar mais elegante:
Passo 9
Interpretação: há duas soluções (o conjunto de três esferas costuma intersectar em até dois pontos). Ambas são matematicamente válidas. Para visualização numérica, computo aproximações decimais:
Para o sinal :
Para o sinal
Para o sinal
: