Calcule a distância entre os pontos P_{1}=\left(3, \frac{\pi}{4}, 2\right) e P_{2}=\left(5, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right) no espaço 3-D.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço 3-D:
  • P_{1}=\left(3,\frac{\pi}{4},2\right).
  • P_{2}=\left(5,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right).
O que se pede: calcular a distância entre P_{1} e P_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada ponto está dado por um triplo \left(r,\theta,z\right). Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo polar no plano xy e z é a cota vertical. Ou seja, os pontos estão em coordenadas cilíndricas \left(r,\theta,z\right).
  • Valores numéricos que vamos usar:
    • Para P_1: r_1=3, \theta_1=\dfrac{\pi}{4}, z_1=2.
    • Para P_2: r_2=5, \theta_2=\dfrac{\pi}{3}, z_2=\dfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Escolha do método (explicando o porquê de forma direta): como os pontos já estão em coordenadas cilíndricas \left(r,\theta,z\right), é mais prático usar a fórmula direta para a distância entre dois pontos em coordenadas cilíndricas do que converter para coordenadas cartesianas e depois aplicar a fórmula euclidiana. A fórmula direta é simples e evita contas desnecessárias no plano xy.

Passo 3

Apresentação e derivação da fórmula que vamos usar (aulasinha rápida):
  • Em coordenadas cilíndricas \left(r,\theta,z\right) as projeções dos pontos no plano xy têm distâncias ao centro r_1 e r_2 e estão separadas por um ângulo \theta_1-\theta_2. Pela lei dos cossenos (ou produto escalar) a distância ao quadrado entre as projeções no plano xy é
r_1^{2}+r_2^{2}-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2).
  • A distância total entre os pontos no espaço junta essa distância horizontal com a diferença em z. Assim a fórmula da distância é
d^{2}=r_1^{2}+r_2^{2}-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\bigl(z_1-z_2\bigr)^{2},
onde d é a distância euclidiana entre os pontos. Aqui r_1,r_2 são os raios no plano xy, \theta_1,\theta_2 os ângulos azimutais, e z_1,z_2 as coordenadas verticais.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos valores dados:
  • Primeiro calcule o ângulo diferença:
\theta_1-\theta_2=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{12}.
Como \cos é par, \cos\!\bigl(-\frac{\pi}{12}\bigr)=\cos\!\bigl(\frac{\pi}{12}\bigr).
  • Calcular \cos\!\bigl(\frac{\pi}{12}\bigr) exatamente (uma conta trigonométrica clássica):
\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\quad\Rightarrow\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right).
Usando a fórmula de diferença de cossenos \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b e os valores \cos\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos\frac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}, obtemos
\cos\!\left(\frac{\pi}{12}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula:
\begin{aligned} d^{2} &=r_1^{2}+r_2^{2}-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\bigl(z_1-z_2\bigr)^{2}\\[6pt] &=3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5\cos\!\left(\frac{\pi}{12}\right) +\left(2-\frac{\pi}{6}\right)^{2}\\[6pt] &=9+25-30\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} +\left(2-\frac{\pi}{6}\right)^{2}\\[6pt] &=34-\frac{30}{4}\,(\sqrt{6}+\sqrt{2}) +\left(2-\frac{\pi}{6}\right)^{2}\\[6pt] &=34-\frac{15}{2}\,(\sqrt{6}+\sqrt{2}) +\left(2-\frac{\pi}{6}\right)^{2}. \end{aligned}]

Passo 6

Podemos escrever a resposta exata como raiz desta expressão e também calcular uma aproximação numérica para uso em prova:
  • Forma exata:
d=\sqrt{\,34-\dfrac{15}{2}\,(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\left(2-\dfrac{\pi}{6}\right)^{2}\, }.
  • Aproximação numérica (fazendo as contas com algumas casas decimais):
d\approx 2{,}683652.

Resposta

\displaystyle d=\sqrt{\,34-\dfrac{15}{2}\,(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\left(2-\dfrac{\pi}{6}\right)^{2}\,}\approx 2{,}683652

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