Calcule a distância entre os pontos
e
no espaço 3-D.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço 3-D:
-
. -
.
O que se pede: calcular a distância entre
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada ponto está dado por um triplo
. Aqui é a distância ao eixo no plano , é o ângulo polar no plano e é a cota vertical. Ou seja, os pontos estão em coordenadas cilíndricas . - Valores numéricos que vamos usar:
- Para
: , , . - Para
: , , .
- Para
Passo 2
Escolha do método (explicando o porquê de forma direta): como os pontos já estão em coordenadas cilíndricas
, é mais prático usar a fórmula direta para a distância entre dois pontos em coordenadas cilíndricas do que converter para coordenadas cartesianas e depois aplicar a fórmula euclidiana. A fórmula direta é simples e evita contas desnecessárias no plano
.
Passo 3
Apresentação e derivação da fórmula que vamos usar (aulasinha rápida):
- Em coordenadas cilíndricas
as projeções dos pontos no plano têm distâncias ao centro e e estão separadas por um ângulo . Pela lei dos cossenos (ou produto escalar) a distância ao quadrado entre as projeções no plano é
- A distância total entre os pontos no espaço junta essa distância horizontal com a diferença em
. Assim a fórmula da distância é
onde
é a distância euclidiana entre os pontos. Aqui
são os raios no plano
,
os ângulos azimutais, e
as coordenadas verticais.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos valores dados:
- Primeiro calcule o ângulo diferença:
Como
é par,
.
- Calcular
exatamente (uma conta trigonométrica clássica):
Usando a fórmula de diferença de cossenos
e os valores
,
,
,
, obtemos
Passo 5
Agora substituímos tudo na fórmula:
Passo 6
Podemos escrever a resposta exata como raiz desta expressão e também calcular uma aproximação numérica para uso em prova:
- Forma exata:
- Aproximação numérica (fazendo as contas com algumas casas decimais):