Dado o campo vetorial \vec{A}=x \vec{a}_{x}+y \vec{a}_{y}, esboce \vec{A} nos pontos (-1,0,0),(0,0,0),(1,0,0) no plano z=0 e diga a direção.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{A}=x\vec{a}_{x}+y\vec{a}_{y} e pede duas coisas para os pontos listados no plano z=0:
  • Esboçar (ou seja, indicar) o vetor \vec{A} nos pontos (-1,0,0), (0,0,0), (1,0,0).
  • Dizer a direção de \vec{A} em cada um desses pontos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Campo: \vec{A}=x\vec{a}_{x}+y\vec{a}_{y}.
  • Pontos onde avaliar: (-1,0,0), (0,0,0), (1,0,0).
  • Todos os pontos estão no plano z=0.

Passo 2

Como proceder (regra prática que será usada repetidamente): para obter o vetor do campo num ponto basta substituir as coordenadas (x,y,z) do ponto na expressão \vec{A}=x\vec{a}_{x}+y\vec{a}_{y}. Isso porque \vec{a}_{x} e \vec{a}_{y} são os versores (vetores unitários) das direções x e y. Portanto, em qualquer ponto (x,y,0) do plano z=0 vale diretamente
\vec{A}(x,y,0)=x\vec{a}_{x}+y\vec{a}_{y}.
Uma observação útil: para um ponto (x,y,0) este vetor é exatamente o vetor posição no plano (ou seja, aponta radialmente para fora do origem) porque o vetor posição é \vec{r}=x\vec{a}_x+y\vec{a}_y+z\vec{a}_z e aqui z=0, logo \vec{A}=\vec{r}. Então \vec{A} aponta na direção radial a partir da origem e tem magnitude igual à distância ao eixo z: |\vec{A}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Avaliar em (-1,0,0):
Substituindo x=-1 e y=0 na fórmula,
\vec{A}(-1,0,0)=(-1)\vec{a}_{x}+0\vec{a}_{y}=-\vec{a}_{x}.
Magnitude:
|\vec{A}|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=1.
Direção: o vetor -\vec{a}_{x} aponta ao longo do eixo x no sentido negativo (para a esquerda no plano xy). Portanto, no esboço coloca-se uma seta de comprimento proporcional a 1 no ponto (-1,0) apontando para a esquerda.

Passo 4

Avaliar em (0,0,0):
Substituindo x=0 e y=0,
\vec{A}(0,0,0)=0\vec{a}_{x}+0\vec{a}_{y}=\vec{0}.
Magnitude:
|\vec{A}|=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0.
Direção: o vetor nulo \vec{0} não tem direção definida. No esboço normalmente desenha-se apenas um ponto ou nenhum vetor (ou um pequeno círculo para indicar vetor nulo) no origem.

Passo 5

Avaliar em (1,0,0):
Substituindo x=1 e y=0,
\vec{A}(1,0,0)=1\vec{a}_{x}+0\vec{a}_{y}=\vec{a}_{x}.
Magnitude:
|\vec{A}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
Direção: o vetor \vec{a}_{x} aponta ao longo do eixo x no sentido positivo (para a direita no plano xy). No esboço coloca-se uma seta de comprimento 1 no ponto (1,0) apontando para a direita.

Passo 6

Como esboçar graficamente (dicas passo a passo para prova):
  1. Desenhe os eixos x e y no plano z=0.
  2. Marque os pontos (-1,0), (0,0), (1,0) sobre o eixo x.
  3. Em (-1,0) desenhe uma seta de tamanho unitário apontando para a esquerda (sentido -\vec{a}_x).
  4. Em (0,0) não desenhe seta (ou desenhe um pequeno círculo) porque o vetor é nulo.
  5. Em (1,0) desenhe uma seta de tamanho unitário apontando para a direita (sentido \vec{a}_x).
    Observação final: mais genericamente, em qualquer ponto sobre o eixo x (ou seja, com y=0) o campo tem a forma \vec{A}=x\vec{a}_x, então para x>0 aponta para a direita e para x<0 aponta para a esquerda, com magnitude |x|.

Resposta

(-1,0,0): -\vec{a}_{x}. Direção: negativa do eixo x (para a esquerda).\n
(0,0,0): \vec{0}. Direção: indefinida (vetor nulo).\n
(1,0,0): \vec{a}_{x}. Direção: positiva do eixo x (para a direita).

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