Dado o campo vetorial \left.\vec{A}=-y \vec{a}_{x}+x \vec{a}_{y}\right), compare \vec{A}(1,2,0) e \vec{A}(-1,2,0).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{A}=-y\,\vec{a}_{x}+x\,\vec{a}_{y} e pede para comparar \vec{A}(1,2,0) e \vec{A}(-1,2,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do campo: \vec{A}=-y\,\vec{a}_{x}+x\,\vec{a}_{y}.
  • Os pontos onde avaliar: P_1=(1,2,0) e P_2=(-1,2,0).
  • O pedido “comparar” significa calcular os vetores nos dois pontos e analisar semelhanças e diferenças (componentes, magnitude, direção, etc.).

Passo 2

Como trabalhar com campos vetoriais: um campo vetorial em coordenadas cartesianas costuma ser escrito componente a componente junto às bases unitárias \vec{a}_{x},\vec{a}_{y},\vec{a}_{z}. Aqui podemos reescrever \vec{A} em forma de componentes numéricas:
\vec{A}(x,y,z)=(-y)\,\vec{a}_{x}+(x)\,\vec{a}_{y}+0\cdot\vec{a}_{z},
ou de forma compacta de coordenadas: \vec{A}(x,y,z)=(-y,x,0). Isso significa que, para avaliar o campo em um ponto, basta substituir as coordenadas x e y nas componentes.

Passo 3

Avaliar em P_1=(1,2,0). Substituir x=1 e y=2 nas componentes:
\vec{A}(1,2,0)=(-y,x,0)\big|_{(1,2,0)} = (-2,\,1,\,0).
Escrito com as bases:
\vec{A}(1,2,0) = -2\,\vec{a}_{x} + 1\,\vec{a}_{y}.

Passo 4

Avaliar em P_2=(-1,2,0). Substituir x=-1 e y=2:
\vec{A}(-1,2,0)=(-y,x,0)\big|_{(-1,2,0)} = (-2,\,-1,\,0).
Escrito com as bases:
\vec{A}(-1,2,0) = -2\,\vec{a}_{x} - 1\,\vec{a}_{y}.

Passo 5

Comparando componentes:
  • Componente em \vec{a}_{x}: ambas têm -2. Ou seja, as projeções no eixo x são iguais.
  • Componente em \vec{a}_{y}: uma tem +1 e a outra tem -1; são de mesmo módulo e sinais opostos.
  • Componente em \vec{a}_{z}: ambas são 0.
Isso já mostra que os vetores não são iguais (porque a componente em y difere em sinal), mas têm semelhanças (mesma componente em x).

Passo 6

Comparar magnitudes (normas). Calcular a norma em cada ponto:
\|\vec{A}(1,2,0)\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
\|\vec{A}(-1,2,0)\|=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Portanto as duas têm a mesma magnitude: \sqrt{5}.

Passo 7

Diferença e ângulo entre os vetores. A diferença é simples:
\vec{A}(1,2,0)-\vec{A}(-1,2,0) = (-2,1,0)-(-2,-1,0) = (0,2,0)=2\,\vec{a}_{y}.
Produto escalar e ângulo \theta:
\vec{A}(1,2,0)\cdot\vec{A}(-1,2,0)=(-2)\cdot(-2)+1\cdot(-1)+0\cdot0=4-1=3.
Como \|\vec{A}(1,2,0)\|=\|\vec{A}(-1,2,0)\|=\sqrt{5}, tem-se
\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{3}{5},
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\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{3}{5}\right)\approx 53{,}13^\circ.

Resposta

\vec{A}(1,2,0)=-2\,\vec{a}_{x}+1\,\vec{a}_{y}
\vec{A}(-1,2,0)=-2\,\vec{a}_{x}-1\,\vec{a}_{y}
As duas têm mesma magnitude \sqrt{5}, têm a componente x igual e a componente y de sinais opostos; a diferença é 2\,\vec{a}_{y} e o ângulo entre elas é \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{3}{5}\right)\approx 53{,}13^\circ.

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