Calcule a distância entre as retas r e s, dadas por:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{4}
e
s:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=-1+2 t \\\ z=3 t \end{array}\right.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a distância entre as retas r e s.
Informações dadas (tiradas diretamente das equações das retas do enunciado):
  • Reta r: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z}{4}.
  • Reta s: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\y=-1+2t\z=3t\end{array}\right..
Do enunciado (convertendo para ponto e vetor diretor):
  • Um ponto da reta r é P_1=(1,-3,0). O vetor diretor de r é \vec v_r=(2,-1,4).
  • Um ponto da reta s é P_2=(2,-1,0) (obtido para t=0). O vetor diretor de s é \vec v_s=(1,2,3).
Observação: a figura enviada junto (imagem) contém os mesmos valores e cálculos; na seção de imagens no final listo as informações que extraí da imagem.

Passo 2

Ideia do método (fórmula que vamos usar) e por que ela funciona.
  • A menor distância entre duas retas não paralelas e não concorrentes (retas espaciais possivelmente reversas — “skew”) é a medida do comprimento da projeção do vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta sobre um vetor normal às duas retas.
  • Um vetor normal às duas retas é dado pelo produto vetorial \vec n=\vec v_r\times\vec v_s. Esse vetor é perpendicular a ambas as direções.
  • Se \vec w = \overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1, então a distância entre as retas é
\text{dist}(r,s)=\frac{|\vec w\cdot\vec n|}{\|\vec n\|}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec v_r e \vec v_s são os vetores diretores das retas (já identificados).
  • \times é o produto vetorial (gera um vetor perpendicular aos dois).
  • \vec w\cdot\vec n é o produto escalar (número real).
  • \|\vec n\| é a norma (comprimento) do vetor \vec n.
  • O valor absoluto |\cdot| garante distância positiva.

Passo 3

Calcular o vetor que liga os pontos escolhidos:
\vec w=\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1=(2-1,\,-1-(-3),\,0-0)=(1,\,2,\,0).
Explanação rápida: subtrai-se coordenada a coordenada para obter o vetor entre os pontos.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec n=\vec v_r\times\vec v_s.
Usamos o determinante da matriz com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\vec v_r\times\vec v_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\vec n = \mathbf{i}\big((-1)\cdot 3 - 4\cdot 2\big) - \mathbf{j}\big(2\cdot 3 - 4\cdot 1\big) + \mathbf{k}\big(2\cdot 2 - (-1)\cdot 1\big).
Calculando cada termo:
\vec n = \mathbf{i}(-3-8) - \mathbf{j}(6-4) + \mathbf{k}(4+1) = (-11,\,-2,\,5).
Comentário: o sinal do segundo componente já está incluído pela regra do desenvolvimento (o termo em \mathbf{j} tem sinal negativo).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec w\cdot\vec n:
\vec w\cdot\vec n = (1,2,0)\cdot(-11,-2,5)=1\cdot(-11)+2\cdot(-2)+0\cdot5 = -11-4+0=-15.
Tomamos o valor absoluto para a distância: |\vec w\cdot\vec n|=15.

Passo 6

Calcular a norma de \vec n:
\|\vec n\|=\sqrt{(-11)^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{121+4+25}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}.
Explicação: norma de (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
\text{dist}(r,s)=\frac{|\vec w\cdot\vec n|}{\|\vec n\|}=\frac{15}{5\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}.
Racionalizando (opcional, para forma mais bonita):
\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{6}}{2}

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