O que significa “linearmente dependentes” de forma prática (passo-a-passo curto): dizer que \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3 são linearmente dependentes é encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos zero, que satisfaçam
Agora substituo \beta = -2\gamma na expressão de \alpha:
\alpha = \tfrac{3}{2}\cdot(-2\gamma) = -3\gamma.
Passo 6
Agora verifico as outras equações para ver se essa escolha (\alpha e \beta em função de \gamma) satisfaz todo o sistema. Substituindo \alpha=-3\gamma e \beta=-2\gamma na primeira equação:
Para ficar bem claro, fazemos a soma componente a componente:
-3(1,0,2,-1) + -2(2,2,-3,4) + 1(7,4,0,5)
=(-3,0,-6,3)+(-4,-4,6,-8)+(7,4,0,5)=(0,0,0,0).
Passo 8
Conclusão interpretada e dica para prova: encontrei uma combinação não trivial (coeficientes -3,-2,1) que anula os vetores, logo \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3 são linearmente dependentes. Em provas, o procedimento padrão é exatamente esse: montar o sistema \alpha\mathrm{v}_1+\beta\mathrm{v}_2+\gamma\mathrm{v}_3=\mathbf{0} e resolver; se houver solução com algum coeficiente diferente de zero, a dependência está provada.