3- Mostre que os vetores \mathrm{v} 1=(1,0,2,-1), \mathrm{v} 2=(2,2,-3,4) e v3 =(7,4,0,5) são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^4 e pede para mostrar que eles são linearmente dependentes. Os vetores fornecidos são:
\mathrm{v}_1=(1,0,2,-1),\qquad \mathrm{v}_2=(2,2,-3,4),\qquad \mathrm{v}_3=(7,4,0,5).
A pergunta é: existe uma combinação linear não trivial
\alpha\,\mathrm{v}_1+\beta\,\mathrm{v}_2+\gamma\,\mathrm{v}_3=\mathbf{0}
com \alpha,\beta,\gamma nem todos iguais a zero?

Passo 2

O que significa “linearmente dependentes” de forma prática (passo-a-passo curto): dizer que \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3 são linearmente dependentes é encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos zero, que satisfaçam
\alpha\,\mathrm{v}_1+\beta\,\mathrm{v}_2+\gamma\,\mathrm{v}_3=\mathbf{0}.
Aqui \mathbf{0} é o vetor (0,0,0,0). Vou então escrever as equações coordenada a coordenada e resolver para \alpha,\beta,\gamma.

Passo 3

Escrevendo a combinação coordenada a coordenada obtemos o sistema linear (cada linha é uma coordenada):
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 7\gamma = 0,\\[4pt] 0\alpha + 2\beta + 4\gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha -3\beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] -\,\alpha +4\beta +5\gamma = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por substituição (é simples e rápido aqui).]

Passo 4

Da segunda equação temos
2\beta + 4\gamma = 0.
Dividindo por 2 obtemos
\beta + 2\gamma = 0\quad\Rightarrow\quad \beta = -2\gamma.
Expliquei: isolei \beta em função de \gamma para reduzir o número de incógnitas.

Passo 5

Da terceira equação temos
2\alpha -3\beta = 0.
Isolando \alpha obtemos
2\alpha = 3\beta \quad\Rightarrow\quad \alpha = \tfrac{3}{2}\beta.
Agora substituo \beta = -2\gamma na expressão de \alpha:
\alpha = \tfrac{3}{2}\cdot(-2\gamma) = -3\gamma.

Passo 6

Agora verifico as outras equações para ver se essa escolha ( \alpha e \beta em função de \gamma) satisfaz todo o sistema. Substituindo \alpha=-3\gamma e \beta=-2\gamma na primeira equação:
\alpha + 2\beta + 7\gamma = (-3\gamma) + 2(-2\gamma) + 7\gamma = -3\gamma -4\gamma +7\gamma = 0.
Na quarta equação:
-\,\alpha +4\beta +5\gamma = -(-3\gamma) +4(-2\gamma) +5\gamma = 3\gamma -8\gamma +5\gamma = 0.
As duas equações são satisfeitas para qualquer \gamma. Portanto o sistema é consistente e tem soluções não triviais parametrizadas por \gamma.

Passo 7

Escolhendo um valor conveniente para o parâmetro, por exemplo \gamma=1, obtemos
\gamma=1,\qquad \beta=-2,\qquad \alpha=-3.
Isto fornece a combinação linear não trivial
-3\,\mathrm{v}_1 -2\,\mathrm{v}_2 + 1\,\mathrm{v}_3 = \mathbf{0}.
Para ficar bem claro, fazemos a soma componente a componente:
-3(1,0,2,-1) + -2(2,2,-3,4) + 1(7,4,0,5)
=(-3,0,-6,3)+(-4,-4,6,-8)+(7,4,0,5)=(0,0,0,0).

Passo 8

Conclusão interpretada e dica para prova: encontrei uma combinação não trivial (coeficientes -3,-2,1) que anula os vetores, logo \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3 são linearmente dependentes. Em provas, o procedimento padrão é exatamente esse: montar o sistema \alpha\mathrm{v}_1+\beta\mathrm{v}_2+\gamma\mathrm{v}_3=\mathbf{0} e resolver; se houver solução com algum coeficiente diferente de zero, a dependência está provada.

Resposta

-3\,\mathrm{v}_1 - 2\,\mathrm{v}_2 + 1\,\mathrm{v}_3 = \mathbf{0}

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