Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado. O enunciado pede para provar a equivalência
As informações implícitas:
,
e
são vetores de um mesmo espaço vetorial (por exemplo
). Queremos mostrar que a equação
é verdadeira se, e somente se,
.
Passo 2
Lembrete das propriedades de vetores que vamos usar (explicação didática).
- Existe um vetor nulo, chamado
, tal que para qualquer vetor vale . - Para cada vetor
existe um inverso aditivo, chamado , tal que . - A adição vetorial é associativa: para quaisquer
vale . - A adição vetorial é comutativa:
. - Igualdade é compatível com adição: se
então para qualquer .
Definição prática de subtração de vetores:
Passo 3
Prova da implicação
: suponha que
Vamos “somar
aos dois lados” da igualdade, o que é permitido porque igualdade é compatível com adição. Assim:
Pela associatividade da adição podemos reescrever o lado esquerdo como
Mas
(definição de inverso aditivo), então
Como
, obtemos
Portanto,
implica
.
Passo 4
Prova da implicação
: suponha que
Somando
a ambos os lados (novamente, igualdade é compatível com adição), temos
Pela associatividade e comutatividade podemos agrupar como
Mas
, então
Assim,
implica
.
Passo 5
Comentário sobre unicidade (opcional, útil para prova em prova): a manipulação acima também mostra que, se existe alguma solução
da equação
, então essa solução é única e dada por
. Isso porque adicionando
a ambos os lados obtém-se um único valor.
Passo 6
Exemplo numérico para fixar a ideia (mini aula concreta). Tome
e
em
. Então
Verificando:
ou seja,
satisfaz
e coincide com
.