Prove que \vec{x}+\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow \vec{x}=\vec{b}-\vec{a}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado. O enunciado pede para provar a equivalência
\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}\\ \Leftrightarrow\\ \vec{x}=\vec{b}-\vec{a}.
As informações implícitas: \vec{x}, \vec{a} e \vec{b} são vetores de um mesmo espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^n). Queremos mostrar que a equação \vec{x}+\vec{a}=\vec{b} é verdadeira se, e somente se, \vec{x}=\vec{b}-\vec{a}.

Passo 2

Lembrete das propriedades de vetores que vamos usar (explicação didática).
  • Existe um vetor nulo, chamado \vec{0}, tal que para qualquer vetor \vec{v} vale \vec{v}+\vec{0}=\vec{v}.
  • Para cada vetor \vec{v} existe um inverso aditivo, chamado -\vec{v}, tal que \vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}.
  • A adição vetorial é associativa: para quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w} vale (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).
  • A adição vetorial é comutativa: \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}.
  • Igualdade é compatível com adição: se \vec{u}=\vec{v} então \vec{u}+\vec{w}=\vec{v}+\vec{w} para qualquer \vec{w}.
Definição prática de subtração de vetores:
\vec{b}-\vec{a}:=\vec{b}+(-\vec{a}).

Passo 3

Prova da implicação \Rightarrow: suponha que
\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}.
Vamos “somar -\vec{a} aos dois lados” da igualdade, o que é permitido porque igualdade é compatível com adição. Assim:
(\vec{x}+\vec{a})+(-\vec{a})=\vec{b}+(-\vec{a}).
Pela associatividade da adição podemos reescrever o lado esquerdo como
\vec{x}+(\vec{a}+(-\vec{a}))=\vec{b}+(-\vec{a}).
Mas \vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0} (definição de inverso aditivo), então
\vec{x}+\vec{0}=\vec{b}+(-\vec{a}).
Como \vec{x}+\vec{0}=\vec{x}, obtemos
\vec{x}=\vec{b}+(-\vec{a})=\vec{b}-\vec{a}.
Portanto, \vec{x}+\vec{a}=\vec{b} implica \vec{x}=\vec{b}-\vec{a}.

Passo 4

Prova da implicação \Leftarrow: suponha que
\vec{x}=\vec{b}-\vec{a}=\vec{b}+(-\vec{a}).
Somando \vec{a} a ambos os lados (novamente, igualdade é compatível com adição), temos
\vec{x}+\vec{a}=(\vec{b}+(-\vec{a}))+\vec{a}.
Pela associatividade e comutatividade podemos agrupar como
\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}+((-\,\vec{a})+\vec{a}).
Mas (-\,\vec{a})+\vec{a}=\vec{0}, então
\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}+\vec{0}=\vec{b}.
Assim, \vec{x}=\vec{b}-\vec{a} implica \vec{x}+\vec{a}=\vec{b}.

Passo 5

Comentário sobre unicidade (opcional, útil para prova em prova): a manipulação acima também mostra que, se existe alguma solução \vec{x} da equação \vec{x}+\vec{a}=\vec{b}, então essa solução é única e dada por \vec{x}=\vec{b}-\vec{a}. Isso porque adicionando -\vec{a} a ambos os lados obtém-se um único valor.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar a ideia (mini aula concreta). Tome \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(3,4) em \mathbb{R}^2. Então
\vec{b}-\vec{a}=(3,4)-(1,2)=(2,2).
Verificando:
(2,2)+(1,2)=(3,4)=\vec{b},
ou seja, \vec{x}=(2,2) satisfaz \vec{x}+\vec{a}=\vec{b} e coincide com \vec{b}-\vec{a}.

Resposta

\vec{x}+\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow \vec{x}=\vec{b}-\vec{a}

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