Calcule a distância entre as retas \left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda \\\ y=1+\lambda \\\ z=-\lambda\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\\ 2 x-y-1=0\end{array}\right.\right.
Passo 1
O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço, uma dada por coordenadas paramétricas
O conteúdo envolvido é a fórmula da distância entre retas reversas (não paralelas e não concorrentes), que usa produto misto (ou triplo escalar) e produto vetorial:
d = \frac{\bigl|\bigl(\overrightarrow{P_0Q_0}\bigr)\cdot(\mathbf v\times\mathbf u)\bigr|}{\|\mathbf v\times\mathbf u\|},
onde \mathbf v e \mathbf u são vetores diretores de L_1 e L_2, e P_0, Q_0 pontos em cada reta.
Passo 2
Vamos identificar um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para L_1, quando \lambda=0 temos o ponto
P_0=(2,1,0),
e o vetor diretor é dado pelos coeficientes de \lambda:
\mathbf v = (-1,\,1,\,-1).
Para L_2, resolvemos as duas equações em função de um parâmetro t. De 2x - y -1=0 vem y=2x-1. Substituindo em x+y+z=0 dá
x+(2x-1)+z=0\;\Longrightarrow\;z=1-3x.
Tomando x=t, obtemos
Q_0=(0,-1,1)\quad\text{(quando \(t=0\))}, \qquad \mathbf u = (1,\,2,\,-3).
Passo 3
Calculamos o produto vetorial \mathbf v\times\mathbf u:
\mathbf v\times\mathbf u =\det\begin{pmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\[6pt] -1 & 1 & -1 \\[3pt] 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} =(-1,\,-4,\,-3).