Questão 5:

Seja A=\left(\begin{array}{rr}4 & 0 \\\\ 1 & -3\end{array}\right).
a) Determine os autovalores de A e os respectivos autovetores.
b) Ache \mathrm{D}=\mathrm{P}^{-1}.A.P onde P é a matriz coluna dos autovetores. Explique este resultado.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[6pt] 1 & -3\end{pmatrix}
e pede:
a) encontrar os autovalores \lambda e autovetores correspondentes;
b) formar P com esses autovetores, calcular \,D = P^{-1} A P e explicar o que significa esse resultado.]

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 0 \\[4pt] 1 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(-3-\lambda)\;-\;0\cdot1
que se expande para
-(4-\lambda)(3+\lambda) \;=\;(\lambda-4)(\lambda+3).
Logo os autovalores são \lambda_{1}=4 e \lambda_{2}=-3.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
Para \lambda_{1}=4, resolvemos
(A - 4I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & -7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0
da segunda linha vem x - 7y = 0, isto é x = 7y. Tomando y=1, um autovetor é \displaystyle v_{1} = \begin{pmatrix}7\\\ 1\end{pmatrix}. Para \lambda_{2}=-3, resolvemos
(A + 3I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0
da primeira linha vem 7x=0 então x=0, e y fica livre. Tomando y=1, um autovetor é \displaystyle v_{2} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montamos
P = \bigl[v_{1}\;\;v_{2}\bigr] = \begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O determinante de P é \det P = 7\cdot1 - 0\cdot1 = 7, logo
P^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/7 & 0\\[4pt]-1/7 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos
D = P^{-1} A P.
Fazendo a multiplicação (ou usando a propriedade de autovetores), obtém-se
D = \begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix},
isto é, D é a matriz diagonal cujos elementos são exatamente os autovalores de A.]

Passo 6

Esse procedimento se chama diagonalização: escrevemos
A = P\,D\,P^{-1},
onde D contém autovalores na diagonal. Isso facilita o cálculo de potências de A e mostra que A é semelhante a uma matriz diagonal.

Resposta

(a) \lambda_{1}=4 com autovetor v_{1}=(7,1)^{T} e \lambda_{2}=-3 com autovetor v_{2}=(0,1)^{T}.
(b) Com P=[v_{1}\;v_{2}],
D = P^{-1} A P = \begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix},
pois A é diagonalizável e D reúne os autovalores de A na diagonal.]

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