Questão 4:
O conjunto A=\left\{(x, y) \in \Re^{2} / x-y=3\right\} é um subespaço vetorial?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x - y = 3\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Vamos usar as condições que caracterizam um subespaço.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz:
i) \mathbf{0}\in W;
ii) para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W;
iii) para qualquer \mathbf{u}\in W e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, tem-se \lambda\mathbf{u}\in W.

Passo 3

Verificamos a condição i). O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Substituindo em x - y = 3 obtemos
0 - 0 = 0 \neq 3,
logo (0,0)\notin A.

Passo 4

Como A não contém o vetor zero, ele falha já na condição básica para ser subespaço. Não é preciso checar as outras.

Resposta

Não, A não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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