Calcule as distâncias entre:
o ponto P(3,2,1) e o plano 2 x-y+2 z=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre o ponto P(3,2,1) e o plano dado por 2x - y + 2z = 4. Vamos usar a fórmula de distância de um ponto a um plano no espaço.

Passo 2

Recordando a fórmula: para o plano Ax + By + Cz + D = 0 e o ponto (x_0,y_0,z_0), a distância é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
No nosso caso, reescrevemos o plano como
2x - y + 2z - 4 = 0,
logo A=2, B=-1, C=2 e D=-4. E o ponto tem x_0=3, y_0=2, z_0=1.

Passo 3

Calculamos o valor absoluto no numerador:
\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr| = \bigl|2\cdot3 + (-1)\cdot2 + 2\cdot1 - 4\bigr| = \bigl|6 - 2 + 2 - 4\bigr| = \bigl|2\bigr| = 2.

Passo 4

Agora computamos o denominador, que é a norma do vetor normal (A,B,C):
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
d = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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